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DM matrices inversibles etc
Bonjour! Je suis en terminale ES et notre prof de maths nous a donné un DM pour la rentrée sur les matrices.
Voici l'énoncé:
On considère la matrice H=( 3 -4 8
6 -7 12
2 -2 3 )
1.
Caluculer H*H
Ici j'ai trouvé comme résultat une matrice identité d'ordre 3 (I3 donc)
2.K=H+I3
a. Calculer K*K (je l'écrirai K(2))
J'ai bien trouvé comme résultat pour cette question la matrice ( 8 0 16
0 16 0
4 0 8 )
La question qui suit est : calculer Kcube (K(3))
Ici, pas de problèmes non plus j'ai trouvé un résultat qui semble convenable
b. On suppose que, pour tout entier naturel n, Kexposantn=alphaexposantn*K, alphaexposantn appartient aux Réels. Calculer Kexposantn+1 en fiction de K.
C'est ici que je bloque, j'ai d'abord pensé prendre la matrice K comme référence soit donc Kexposantn=K et donc Kexposantn+1=K(2) mais ça me paraît étrange.
De même pour la question qui suit : c. Justifier que la matrice K n'est pas inversible (le raisonnement par l'absurde est accepté).
Pourriez vous m'aider à avancer dans ce DM? Merci d'avance pour votre réponse et pour avoir pris le temps de lire mon sujet!
En fait c' est cela qui est faux:
a. Calculer K*K (je l'écrirai K(2))
J'ai bien trouvé comme résultat pour cette question la matrice ( 8 0 16
0 16 0
4 0 8 )
Attendez : il ne faut pas calculer 2*K mais K au carré en partant de K=H+I3.
Donc je trouve ici la matrice carrée K= (4 -4 8 ; 6 -8 12 ; 2 -2 4) et après je fais K au carré (donc K*K) et trouve ici la matrice K au carré = (8 0 16 ; 0 16 0 ; 4 0 8).
Ce n'est pas ça ?
2)b) L' énoncé te propose de prouver par récurrence la propriété :
Pour tout
En particulier dans cette question, on te demande de prouver l' hérédité de (puisque l' initialisation est déjà faite en 2)a))
On suppose donc que pour un certain rang
entier naturel non nul fixé.
Alors
et l' hérédité est prouvée.
2)c) Supposons inversible,Alors, il existe
tel que
Alors,
Ce qui est absurde car
n' est donc pas inversible.
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