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dm méthode d euler et suites avec tableur
Voilà bonjour, j'ai un dm à faire, avec lequel on doit utiliser la méthode d'Euler et un tableur si on le souhaite. Si vous pouviez me guider un peu ça serait très sympa de votre part...
Soit f solution de l'équa. diff. y'= -3y+5 et f(0)=0
I- Méthode d'euler avec pas de 0.5
- appliquer cette méthode à la fonction f, on note yn la valeur apprrochée pour f(n/2) avec y0=0. Justifier que pour tout n entier naturel yn+1= -(1/2)yn +2.5
- Tracer la courbe sur [0;5]
II - avec un pas de 0.1
-En s'inspirant du I, définir la suite qui permet d'obtenir avec cette méthode des valeurs apprrochées zn de f(n/10) avec n entier naturel et z0=0
- Tracer la courbe sur [0;3]
III- Expression de svaleurs approchées
- soit la suite Vn= yn- (5/3) avec n entier naturel. Vérifier que cEtte suite eST géométrique et déduire l'expression de yn en fonction de n
- Soit la suite Wn= zn - (5/3) avec n entier naturel.
Vérifier que cEtte suite eST géométrique et déduire l'expression de Zn en fonction de n
- calculer des valeurs approchées de f(3) en utilisant les suites y et z. Comparer. Quelle ets la plus fiable?
IV. C'ets uen partie qui permet de trouver la solution de l'équa dif avec la méthode normale, par el calcul, que je pense pouvoir faire facilement.
Voilà, ej pense que pour ceux qui maitrisent excel et connaissent bien la méthode d'Euler, ça doit être assez facile, ce qui n'ets pas mon cas...
Enfin merci à quiconque m'aidra un peu 
I)
f(a+h) = f(a) + h.f '(a)
Avec h = 0,5, on a: f(a+h) = f(a) + 0,5.f '(a)
Avec y'=-3y+5
y(a+h) = y(a) + 0,5.(-3y(a) + 5)
y(a+h) = y(a) - 1,5y(a) + 2,5
y(a+h) = -0,5.y(a) + 2,5
y(0) = 0
y(0,5) = -0,5.y(0) + 2,5
y(0,5) = 2,5
y(1) = -0,5.y(0,5) + 2,5
y(1) = -1,25 + 2,5
y(1) = 1,25
y(1,5) = -0,5.y(1) + 2,5
y(1,5) = -0,625 + 2,5
y(1,5) = 1,875
A toi pour continuer ...
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II
f(a+h) = f(a) + h.f '(a)
Avec h = 0,1, on a: f(a+h) = f(a) + 0,1.f '(a)
Avec z'=-3z+5
z(a+h) = z(a) + 0,1.(-3z(a) + 5)
z(a+h) = z(a) - 0,3.z(a) + 0,5
z(a+h) = 0,7.z(a) + 0,5
z(0) = 0
z(0,1) = 0,7.z(0) + 0,5
z(0,1) = 0,5
z(0,2) = 0,7.z(0,1) + 0,5
z(0,2) = 0,7*0,5 + 0,5
z(0,2) = 0,85
z(0,3) = 0,7.z(0,2) + 0,5
z(0,3) = 0,7*0,85 + 0,5
z(0,3) = 1,095
A toi pour continuer ...
(Tu as intérêt à faire cela avec un tableur pour éviter les calculs longs)
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III
V(n)= y(n)- (5/3)
V(n+1)= y(n+1)- (5/3)
V(n+1)= -(1/2) yn +2.5 - (5/3)
V(n+1)= -(1/2).(yn - 5 + (10/3))
V(n+1)= -(1/2).(yn - (5/3))
V(n+1)= -(1/2).y(n)
Et Vn est donc une suite géométrique de raison -1/2.
V(0) = y(0) - (5/3) = 0 - 5/3
-> V(n) = -(5/3).(-1/2)^n
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W(n)= z(n) - (5/3)
W(n+1)= z(n+1) - (5/3)
W(n+1)= 0,7.z(n) + 0,5 - (5/3)
W(n+1)= 0,7.(z(n) + (0,5 - (5/3))/0,7)
W(n+1)= 0,7.(z(n) - (5/3))
W(n+1)= 0,7.w(n)
Et wn est donc une suite géométrique de raison 0,7.
w(0) = z(0) - (5/3) = 0 - 5/3
-> w(n) = -(5/3).(0,7)^n
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f(3) est estimée par (5/3) + v(6) = (5/3) -(5/3).(-1/2)^6 = -5/192 = 1,64062...
et f(3) est estimée par 5/3 + w(30) = (5/3)-(5/3).(0,7)^30 = 1,6666291...
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iV
y'= -3y+5 et f(0)=0
-> y = (5/3).(1-e^(-3t))
y(3) = (5/3).(1-e^(-9)) = 1,6664609836...
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Sauf distraction.
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