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Dm / modelisation croissance

Posté par
Mimm789
24-12-20 à 14:06

Bonjour, voici mon dm qui me pose problème ...
On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plan de maïs en fonction du temps. On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
H(t)=  a/1+be-0.04t
Où h(t) représente la hauteur du plant en fonction du temps t,en jours . Les constantes a et b sont des réels positifs . on sait qu'initialement pour t =0, le plant mesure 0.1m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2m .
1) Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h correspondent à la croissance du plan de maïs étudié.
2)On suppose que la fonction h  est croissante sur [0;+ infini [.
A) Montrer que l'équation h(t) =1,5 admet une unique solution t0 ( en indice )
B) À l'aide d'un algorithme, donner au jour près le temps nécessaire pour que le plan de maïs atteignent une hauteur supérieure à 1,5 m



Voici ce que j'ai fait :


1)
H(0) =0.1
a/1+beO=0.1
a/1+b=O.1
a=O.1*(1+b)
a-0.1b=0.1
Lim h(t)=2 lorsque t tend vers Plus infini
Delà
Lim-0.04t=- infini  lorsque t tend vers plus infini
Par composition lim e-0.04=0 lorsque t tend vers + infini
Et donc lim (1+be-0.04t)=1
Donc par quotient lim h(0)=a lorsque t tend vers + infini
Et ducoup a = 2
Ensuite
a-0.1b=0.1
2-0.1b=0.1
-0.1b=2-0.1
b= -1.9/-0.1=19
b =19

2) h est croissante sur [0;plus infini [
h(0)>0
Car 2>0 et 1
Et je bloque à partir d'ici . Je sais que dois utiliser le théorème des valeurs intermédiaires mais je ne sais pas comment m'y prendre ici .

modération> **Mimm789, **titre complété**
La prochaine fois , essaie de choisir un titre plus explicite, lire Q08 [lien]**

Posté par
Mimm789
re : Dm 24-12-20 à 14:09

Pouvez vous m'aider svp ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 14:24

Bonjour,

une petite remarque :
H(t)= a/1+be-0.04t veut dire H(t) = \dfrac{1}{a}+ be^{-0.04t}
car "/" est une opération de division soumise aux règles de priorité des opérations

tu écris bien plus loin 0.1*(1+b)
pourquoi l'opération de division serait elle dispensée de ces parenthèses obligatoires ?

H(t)= a/(1+be-0.04t)
d'ailleurs ce sera pareil , ces mêmes parenthèses obligatoires quand tu rédigeras l'algorithme dans la question 2B

autre petite remarque :
2-0.1b=0.1 OK
-0.1b=2-0.1 non : -0.1b = 0.1 - 2
d'ailleurs la ligne suivante est bonne et le résultat aussi.

2) h(0) est non seulement > 0 mais = 0.1 qui est < 1.5
et tend vers 2 qui est > 1.5
l'application du TVI est donc immédiate.

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 14:30

Bonjour
N'oubliez pas les parentèses

h(t)=\dfrac{a}{1+b\text{e}^{-0,04t}}

avec les conditions h(t)=\dfrac{2}{1+19\text{e}^{-0,04t}}

croissante est insuffisant la fonction doit être strictement croissante  à montrer la continuité  ou la dérivabilité    

si 1,5\in [f(a)~; f(b] il existe un \alpha \in]a~,~b[  $tel que$ f(\alpha)=1,5

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 14:57

D'accord merci beaucoup !!
Et pour l'algorithme je ne sais pas comment m'y prendre ?
Je sais que pour trouver le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur de 1.5m il faut que je résout une équation , mais faire un algorithme me bloque ..

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 15:11

Vous avez calculé la hauteur du plant pour 1 jour  2 jours,  vous le faites calculer jour après jour  tant que la hauteur est inférieure strictement à 1,5.
Vous demandez alors la valeur de n

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 15:39

Merci mais il n'y a pas des mots à mettre devant chaque condition que je vais écrire ??

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 15:55

affecter à h la valeur 0,1

affecter à n la valeur 0

tant que h est inférieur  à 1.5

faire  etc

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 16:06

Donc c'est bon si je met
h=1
n=0
Saisir valeur de n
Tant que h <ou égal à 1.5
h prend la valeur (1+19e-0.04*n)
Sortie afficher n<égal à 1.5

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 16:18

Ce n'est pas la valeur de h  h(t)=\dfrac{2}{1+19\text{e}^{-0,04t}}

au temps pour moi j'aurais dû préciser strictement inférieur

Pourquoi saisir n  vous lui avez donné la valeur 0

en complément de ce que j'avais commencé  en rectifiant

tant que h<1,5

h reçoit  \dfrac{2}{1+19\text{e}^{-0,04 n}}

n reçoit n+1

fin tant que

afficher n

après vous le traduisez en langage  calculatrice ou python

1 pour voir si cet algorithme fonctionne

  2 pour avoir la valeur de n  et vérifier la réponse précédente

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 16:34

D'accord merci j'ai rectifier .
Du coup ´ vaut 0.05 ?
Et il faut du coup 102 jours pour que le plant de maïs atteignent une hauteur supérieure à 1.5 ?

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 17:05

??? 0.05
oui 102

c'est vrai que vous ne l'aviez pas déterminée à la question précédente juste son existence donc vous ne pouviez vérifier

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 17:18

J'ai pas vraiment bien compris comment mettre ça à la calculatrice ..

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 17:25

Laquelle  ?  et qu'est-ce 0,05 ?

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 17:28

-0.04+ 1

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 17:45

D'où tirez-vous ce calcul ?

Comment avez-vous obtenu 102 ? si vous ne l'avez pas trouvé par la calculatrice ?

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 17:48

J'avais taper a la calculatrice le quotient h(t) j'avais trouver 103

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 18:01

0.103 *

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 18:03

Je ne comprends pas ce que vous faites

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 18:04

Je ne comprend pas non plus ☹️

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 18:11

Vous voulez répondre à quelle question  ?

Il me semblait que vous vouliez implanter l'algorithme sur votre calculatrice.

On peut déterminer t_0 sans passer par un algorithme mais il faut connaître les \ln

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 20:12

En faisant une équation ?

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 20:15

2-1.5 =0.5
Et 1.5*19e-0.04t
=28.5

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 20:32

\dfrac{2}{1+19\text{e}^{-0,04t}}= 1,5

2= 1,5(1+19\text{e}^{-0,04t})

2- 1,5=28,5 \text{e}^{-0,04t}

0.5\text{e}^{0,04t}= 28,5

\text{e}^{0,04t}= 57

ensuite il faut connaître \ln

0,04t=\ln 57

t=\dfrac{\ln 57}{0,04}\approx 101,0753


Ceci donc dans quelque temps

Posté par
Mimm789
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 20:50

Ah bah c'est plus clair . merciii beaucoup vraiment!!
Bonne soirée !

Posté par
hekla
re : Dm / modelisation croissance 24-12-20 à 20:52

Certes mais on vous demande plutôt de trouver cette valeur en utilisant un algorithme

De rien
Bonne soirée



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