Bonjour et bonne année à tous! j'aimerai de l'aide pour mon devoir maison s'il vous plait la géométrie dans l'espace est mon point faible en maths.Ce que j'ai fait est en gras.
On considère la fonction f définie, pour x et y strictement positifs, par:
f (x;y) = 3 ln (y) + xy
1) si y = 1 quelle est la nature de la courbe, intersection de la surface d'équation z= f (x ; y) avec ce plan parallèle à (xOz)?
f( x ; 1 ) = 3 ln(1) + x = 3 * 0 + x = x
2) les variables x et y sont liées par la relation: x + 2y = 4
a- exprimer x en fonction de y dans cette relation; en déduire l'écriture de z = f (x ; y) uniquement en fonction de y, sous la forme de z = g(y)
x + 2y = 4 x = 4 - 2y
on en déduit que z = g ( 4-2y ; y)
b- étudier le sens de variation de la fonction g sur ]0 ; +[
en déduire la valeur y0 ( zéro en indice) , où la fonction g admet un maximum
g ( 4-2y ; y) = 3 ln (y) + (4 -2y ) y = 3 ln (y) + 4y - 2y²
g est définie et dérivable sur +*
g'( 4-2y ; y) = 3*(-1/y) + 4 - 4y ...
bref je ne m'en sors pas avec cette exercice, j'aimerai que vous m'aidiez s'il vous plait
N.B: L'optimisation sous contrainte c'est rechercher l'extremum de la fonction g suivant la variable x.
Bonjour! j'ai repris l'exercice et voilà je récapitule ce que j'ai trouvé:
1/ f(x ; 1 ) = 3 ln (1) + x = 3*0 + x = x
2/ a- la contrainte x + 2y = 4 s'écrit x = 4 - 2y
En remplaçant x dans f ( x ; y ), on obtient:
z = 3 ln (y) + (4-2y) y = 3 ln (y) + 4y -2y² = g(x)
b- g est définie et dérivable sur ]0 ; +[
g'(x) = 3/y - 4y +4
je n'arrive pas à étudier le signe (je me demande si c'est la bonne méthode) g n'est pas une fonction du second degré? autrement je pourrais trouver le sommet de la parabole
c- conclure en donnant les valeurs x0 et y0 (zéro en indice) qui rendent f(x ; y) maximal et chiffrer ce maximum
enfin bref, j'ai vraiment fait mon maximum sur cette exercice, est-ce que vous pouvez me corriger s'il vous plait c'est important je dois le rendre demain.
merci de m'avoir répondu drmahboool
2/ b- ce qui donne g'(x) = 3/y - 4/y + 4y/y = -1/y + 4y/ y
y est strictement positif d'où g'(x) est du signe de 4y-1 positif
donc g est strictement croissante sur +*
est-ce que c'est bien ça ? est-ce que le reste est correcte ?
comment je pourrai faire pour trouver la valeur de y où g admet un maximum s'il vous plait ?
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