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Niveau terminale
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dm optimisation sous contrainte

Posté par
alia
01-01-12 à 17:58

Bonjour et bonne année à tous! j'aimerai de l'aide pour mon devoir maison s'il vous plait la géométrie dans l'espace est mon point faible en maths.Ce que j'ai fait est en gras.

On considère la fonction f définie, pour x et y strictement positifs, par:
f (x;y) = 3 ln (y) + xy

1) si y = 1 quelle est la nature de la courbe, intersection de la surface d'équation z= f (x ; y) avec ce plan parallèle à (xOz)?
f( x ; 1 ) = 3 ln(1) + x = 3 * 0 + x = x
  
2) les variables x et y sont liées par la relation: x + 2y = 4

a-  exprimer x en fonction de y dans cette relation; en déduire l'écriture de                 z = f (x ; y) uniquement en fonction de y, sous la forme de z = g(y)
     x + 2y = 4 x = 4 - 2y
   on en déduit que z = g ( 4-2y ; y)

b- étudier le sens de variation de la fonction g sur ]0 ; +[
en déduire la valeur y0 ( zéro en indice) , où la fonction g admet un maximum
    g ( 4-2y ; y) =  3 ln (y) + (4 -2y ) y = 3 ln (y) + 4y - 2y²
    g est définie et dérivable sur +*
    g'( 4-2y ; y) = 3*(-1/y)  + 4 - 4y ...

bref je ne m'en sors pas avec cette exercice, j'aimerai que vous m'aidiez s'il vous plait

N.B: L'optimisation sous contrainte c'est rechercher l'extremum de la fonction g suivant la variable x.

Posté par
alia
re : dm optimisation sous contrainte 02-01-12 à 13:47

Bonjour! j'ai repris l'exercice et voilà je récapitule ce que j'ai trouvé:

1/ f(x ; 1 ) = 3 ln (1) + x = 3*0 + x = x

2/ a- la contrainte x + 2y = 4 s'écrit x = 4 - 2y
       En remplaçant x dans f ( x ; y ), on obtient:
       z = 3 ln (y) + (4-2y) y = 3 ln (y) + 4y -2y² = g(x)
   b-  g est définie et dérivable sur ]0 ; +[
         g'(x) = 3/y - 4y +4
       je n'arrive pas à étudier le signe (je me demande si c'est la bonne   méthode) g n'est pas une fonction du second degré? autrement je pourrais trouver le sommet de la parabole
  
  c- conclure en donnant les valeurs x0 et y0 (zéro en indice) qui rendent f(x ; y) maximal et chiffrer ce maximum

enfin bref, j'ai vraiment fait mon maximum sur cette exercice, est-ce que vous pouvez me corriger s'il vous plait c'est important je dois le rendre demain.

Posté par
alia
re : dm optimisation sous contrainte 02-01-12 à 14:23

c'est un exercice de terminale es spécialité mathématiques

Posté par
alia
re : dm optimisation sous contrainte 02-01-12 à 20:14

il n'y a personne pour m'aider s'il vos plait, je commence à désespérer

Posté par
drmahboool
re : dm optimisation sous contrainte 03-01-12 à 00:18

pour 2 b) il faut mettre sur le meme denominateur

Posté par
alia
re : dm optimisation sous contrainte 03-01-12 à 01:15


merci de m'avoir répondu drmahboool

2/ b- ce qui donne g'(x) = 3/y - 4/y + 4y/y = -1/y + 4y/ y
      y est strictement positif d'où g'(x) est du signe de 4y-1 positif
      donc g est strictement croissante sur +*

est-ce que c'est bien ça ? est-ce que le reste est correcte ?
comment je pourrai faire pour trouver la valeur de y où g admet un maximum s'il vous plait ?

Posté par
alia
re : dm optimisation sous contrainte 03-01-12 à 01:18

(cf 1/) la nature de la courbe est une droite ?

Posté par
drmahboool
re : dm optimisation sous contrainte 03-01-12 à 02:24

Quoi? tu as fait des math chez un bouchée

Posté par
drmahboool
re : dm optimisation sous contrainte 03-01-12 à 02:26

a+b+c/y=(ay+by+c)/y



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