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dm pour demain sur suite
voila jai un dm a faire pour demain il me reste celui la et jai du mal un peu je vous le met en entier il serait gentil de me detaillé la plupart des reponses au question merci davance !
soit I lintervalle [0,1]
on considere la fonction f definie sur i par f(x)= (3x+2)/(x+4)
1) etudier les variations de f et en deduire que, pour tout x element de I, f(x) appartient à I
2)on considere la suite(Un) definie par
Uo=0
U(n+1)=(3Un +2)/(x+4)
montrer que, pour tout n, Un appartient à I
2 methodes pour etudier la suite
premiere methode:
3(a) representer graphiquement f ds un repere orthonormal d'unité graphique 10 cm
b) tracer la representation graphique en chemin de la suite (Un)
que suggere le graphique concernant le sens de variation de (Un) et sa convergence ?
c) établir la relation Un+1-Un = [(1-Un)(Un +2)]/(Un+4) et en deduire le sens de variation de la suite (Un)
d) demontrer que la suite (Un) est convergente
e)prouver que la limite l de la suite verifie l=f(l) et calculer l
deuxieme methode
on considere la suite (Vn) definie par Vn=(Un -1)/(Un +2)
a)prouver que (Vn) est une suite geometrique de raison 2/5
b)calculer vo et exprimer Vn en fonction de n
c)exprimer Un en fonction de Vn, puis en fonction de n
d) en deduire la convergence de la suite (Un) et sa limite
Bonsoir 
Petit entrainement pour le DS de demain 
f est définie sur |R-{-4} ,en tant que fonction rationnelle elle est donc dérivable et continue sur |R-{-4}.
f'(x) = [3(x+4)-(3x+2)]/[(x+4)²]
f'(x) = 10/(x+4)²
f'(x) > 0
Donc f est strictement croissante sur ]-oo;-4[U]-4;+oo[ donc également sur [0;1] avec f(0)=0 et f(1)=1, donc pour tout x de I, f(x) appartient à I.
Mathématiquement : 0<x<1 => f(0)<f(x)<f(1) => 0<f(x)<1.
Soit P la proposition définie sur |N par : P est vraie au rang n ssi 0<Un<1.
Initialisation : Au rang 0, U0=0 donc P est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons P vraie à un rang k quelconque, alors 0<Uk<1, alors 0<f(Uk)<1, alors 0<U(k+1)<1 car Un+1=f(Un). Donc P est vraie au rang k+1 donc P est héréditaire sur |N. P est vraie au rang 0 et est héréditaire donc P est vraie pour tout n et donc 0<Un<1.
Alors là bravo !
Je ne m'y attendais vraiment pas 
(Si tu as des commentaires à faire sur mon post n'hésite pas, ça évitera que je fasse une boulette dans le DS )
U(n+1)-Un = (3Un+2)/(Un+4)-Un = (3Un+2-Un²-4Un)/(Un+4) = (-Un-Un²+2)/(Un+4) = (1-Un)(Un+2)/(Un+4)
Comme 0<Un<1 on a 0<1-Un<1 et 2<Un<3 et 4<Un<5 donc (1-Un)>0, (Un+2)>0 et (Un+4)>0 donc Un+1-Un>0 donc (Un) est strictement croissante.
La suite (Un) est croissante et bornée, donc elle est convergente.
La fonction f est continue sur [0;1] et contient tous les Un avec 0<Un<1. La suite (Un) est convergente donc 0<lim(x->+oo)Un<1 <=> 0<l<1. Donc f est continue sur [0;1] et contient tous les Un et l donc f(l)=l<=> (3l+2)/(l+4)=l <=> 3l+2=l²+4l <=> l²+l-2=0 <=> l=-2 ou l=1. Or 0<l<1 donc l=1.
Bon pour la rédaction il y a mieux... 
V(n+1)= (U(n+1)-1)/(U(n+1)+2)=(2Un-2)/(5Un+10)=2(Un-1)/5(Un+2) = 2/5(Un-1)/(Un+2)=2/5Vn
On a V0 = (U0-1)/(U0+2) = -1/2
Donc Vn=V0q^n = -1/2*(2/5)^n
Vn = (Un-1)/(Un+2)
Vn(Un+2)=Un-1
VnUn+2Vn=Un-1
UnVn-Un=-1-2Vn
Un(Vn-1)=-1-2Vn
Un=(-1-2Vn)/(Vn-1)
Un=(-1-(2/5)^n)/(-1/2*(2/5)^n-1)
Donc quand n tend vers +oo :
lim(n->+oo)Un = 1
salut infophile,
proposition de rédaction alternative pour la fin de ta démo
l est un point fixe de f , i.e. l=f(l) (1) .... les solutions de (1) sont {-2;1}
or on sait f([0;1]) inclus [0,1]=> l=1
mais bon c'est des détails..
D.
Bonsoir disdro
Merci d'avoir regardé c'est gentil ^^
Je n'ai pas vu en cours la notion de "point fixe", elle a un caractère particulier, ou c'est seulement pour dire que ce n'est pas une variable ?
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