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DM Primitive
Bonjour, je bloque sur un exercice avec le problème suivant :
Déterminer l'ensemble des primitives sur 
de f définie sur par f(x) = x²e3x
J'ai remarqué que cette fonction est de forme produit tel que f(x)=(uv)(x) dérivable sur avec 
x
, u(x) = x² et v(x) = e3x donc leurs primitives respectives sont pour u'(x) = (1/n+1)*xn+1 avec n=2 soit u'(x) = 1/3x3 et pour v'(x) = eu avec u=3x donc v'(x)=1/3e3x car quand on dérive 1/3e3x on a donc u'eu = 1/3*3e3x. Le problème est comment résoudre l'ensemble des solutions ? quelle est la formule à prendre ?
Bonjour, attention les primitives de u'v' ne sont pas uv.
ou bien tu connais l'intégration par parties et tu te lances = (1/3) 
x²d(e3x) = uv-vdu et tu recommences une seconde fois.
soit tu ne connais pas et tu cherches directement les primitives en devinant leur forme et en dérivant (ax²+bx+c)e3x et en identifiant les coefficients avec ceux de x²e3x
Je n'ai pas encore vu les intégrations avec ma classe.
A quoi sert le "(ax²+bc+c)e^(3x) ? C'est la forme ?
on devine que les primitives vont avoir cette forme là (ne pas oublier de rajouter une constate aussi) parce que si on dérive ce truc on tombe encore sur une forme du même type et donc du type de x²e3x.
Donc il est naturel de chercher une primitive sous la forme (ax²+bx+c)e3x
reste à trouver les 3 coefficients.
Bonjour,
Si u(x)=ax²+bx+c alors u'(x)=(a/3)x3+(b/2)x[n]2[/sup]+cx
Si v(x)=e3x alors v'(x)=(1/3)e3x
tu n'as pas dérivé la fonction u*v
C'est justement là où je ne sais pas comment faire pour dériver à l'envers (primitiver) cette fonction
Bonjour,
Si u(x)=ax²+bx+c alors u'(x)=(a/3)x3+(b/2)x[n]2[/sup]+cx
Si v(x)=e3x alors v'(x)=(1/3)e3x
tu n'as pas dérivé la fonction u*v
Bonjour
tu n'as pas compris
Une primitive de x^2e^{3x} est de la forme (ax^2+bx+c)e^{3x}+constante
dérive
(ax^2+bx+c)e^{3x}=...........
et ensuite détermine a,b et c pour que ..........=x^2e^{3x}
En dérivant j'ai obtenu : F(x)=e^(3x)*[ax3+((3/2)b+a)x²+(3c+b)x+c)]/3
Il faut que a=1/3 b=0 et c=0
Non c'est faux ! j'ai trouvé e3x[3ax²+(2a+3b)x+b+c] Donc a=1/3, b=1/9 et c=0
En dérivant j'ai obtenu : F(x)=e^(3x)*[ax3+((3/2)b+a)x²+(3c+b)x+c)]/3
en dérivant une expression de degré 2 tu trouves un terme en x3
montre le calcul de la dérivée de
En dérivant j'ai obtenu : F(x)=e^(3x)*[ax3+((3/2)b+a)x²+(3c+b)x+c)]/3
en dérivant une expression de degré 2 tu trouves un terme en x3
montre le calcul de la dérivée de
C'est ce que j'ai obtenu plus haut mais je n'étais pas sur (Réponse de 16:03)
Ce qui est bizarre c'est que quand je remplace par les valeurs de a,b et c j'obtiens F(x)=e3x[(x^3/3)+(2/27)] et en dérivant ça, je n'obtiens pas f(x)=x²+e3x
non tu devrais trouver F(x)= (1/27)(9x²-6x+2)e3x vérifie tes calculs.
tu ne peux pas avoir de x3 puisque tu es parti de (ax²+bx+c)e3x
on dérive. on cherche une primitive sous la forme (ax²+bx+c)e^(3x) donc on la dérive et on veut retrouver x²e3x
PLSVU t'a déjà expliqué tout ça.
On reconnait f(x)=x²e3x une fonction de type produit avec un trinôme tel que (ax²+bx+c)*e3x définie et dérivable sur R avec u(x)=ax²+bx+c ---> u'(x)=2ax+b et v(x)=e3x ---> v'(x)=3*e3x.
x on a : F(x)=(uv)'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = (2ax+b)*e3x+(ax²+bx+c)*3*e3x
F(x) = e3x[2ax+b+3ax²+3bx+3c)
F(x) = e3x[3ax²+(2a+3b)x+b+3c)
Pour trouver a,b et c il faut faire des équations nulles :
Pour trouver a on fait : 3ax = 1 <==> 3a = 1 <==> a = 1/3
Pour trouver b on fait : 2a+3b = 0 <=> 2/3 + 3b = 0 <=> 3b = -2/3 <==> b = -2/3 * 1/3 = -2/9 <==> b=-2/9
Pour trouver c on fait : b + 3c = 0 <==> 3c = -b <==> c = -b/3 = -(-2/9)/3 = 2/9 * 1/3 <==> c = 2/27
Comme nous avons trouver les coefficients a,b et c on peut les remplacer dans le calcul de F, pour retrouver l'ensemble de solutions.
F(x)=e3x[(3*1/3)x²+(2*(1/3)+3*(-2/9)x-+((-2/9)+(2/27) En rouge ce qui vaut 0
F(x)=e3x*x²
Donc l'ensemble de solutions de F est F(x) = e3x*x²+C
a=1/3 b=-2/9 c = 2/27 c'est bon
mais donc ça donne F(x)= (x²/3-2x/9+2/27)e3x + C
ou encore en mettant (1/27) en facteur F(x) = (1/27)(9x²-6x+2)e3x
je ne sais pas trop ce que tu as fabriqué avec tes simplifications en rouge ?
Bonjour à vous deux
Nathangelus tu te trompe lorsque tu nommes la dérivée de( ax^2+bx+c)e^{3x}+constante
F(x) = e3x[2ax+b+3ax²+3bx+3c)
F(x) = e3x[3ax²+(2a+3b)x+b+3c)
c'est f(x)=x^2e^{3x} et tu en déduis
<==> a = 1/3
<==> b=-2/9
<==> c = 2/27
à reporter dans cette expression
F(x) =(ax^2+bx+c)e^{3x}+ constante
Ah oui, faut remplacer a,b et c dans l'expression de ax²+bx+c, je ne sais même pas pourquoi j'ai fait ça...Je me demande ce que je fais en spé maths 
Merci beaucoup à vous deux pour l'aide !
D'accord mais comment on nomme la fonction quand on a :
u(x)=ax²+bx+c --> u'(x)=2ax+b // v(x) = e^(3x) --> v'(x) = 3e^(3x)
....(x)=e^(3x)(3ax²+(2a+3b)x+b+3c) Pour ensuite trouver les réels a, b et c ?
Quand je dérive F je retombe sur f(x) donc c'est bon merci beaucoup je vais mettre ma rédaction ci-dessous pour voir si j'ai bien tout compris.
f(x)=x²e3x Df : .
On reconnait une fonction de type produit dérivable sur .
Une primitive de x²*e3x est de la forme (ax²+bx+c)*e3x tel que u(x)=ax²+bx+c ---> u'(x)=2ax+b // v(x)=e3x ---> v'(x)=3e3x.
Soit x , f(x)=(uv)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) <==> f(x)=(2ax+b)e3x+(ax²+bx+c)3e3x
<==> f(x)=e3x((2ax+b)+3(ax²+bx+c)) <==> f(x)=e3x(2ax+b+3ax²+3bx+3c) <==> f(x)=e3x(3ax²+(2a+3b)x+b+3c).
Comme nous avons la fonction sous la forme de F(x) on peut donc calculer les réels a, b et c pour lesquels cela nous donne f(x)=x²e3x.
Soit 3a=1 <=> a=1/3, 2a+3b = 0 <=> 3b=-2a <=> b=(-2a/3) soit b=(-2*1/3)/3 <=> b=(-2/3)/3= -2/9 et b+3c = 0 <=> 3c = -b <=> c = -b/3 <=> c=-(-2/9)/3=2/27.
On peut donc remplacer a, b et c dans l'expression de F qui est (ax²+bx+c)*e3x F(x) = (1/3*x²+(-2/9)x+2/27)*e3x <=> F(x) = (x²/3-2/9x+2/27)*e3x.
Soit F une primitive de f.
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