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DM Similitude Partie II

Posté par
Happpy
01-05-12 à 18:41

Re bonjour voila la deuxième et dernière partie de mon devoir maison sur les similitudes.
Cette partie est la suite de la partie I : https://www.ilemaths.net/sujet-dm-similitude-partie-1-492584.html

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Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directe (O ; vec U; vec V) d'unité graphique 2 cm.
Les affixes respectives des points A, B, C, E, F et G sont données par :

zA = 2 + 4i ; zB = -1 - 2i ; zC = 3 - 4i ; zE = 0 ; zF = 5 et zG = -5

On admettra que le point F est le point d'intersection du segment [AC] et de la droite (GE) et que les conditions de la partie I sont vérifiées.

1) Placer ces points sur une figure et, à l'aide des résultats de la partie I, construire le point , centre de la similitude s.

2) Soit s' la similitude plane directe telle que s'(A) = E et s'(C) = G.
Déterminer l'écriture complexe de s' et déterminer l'affixe du centre ' de s'.

3) Montrer que les points et ' sont confondus.

------------------------------------------------------------------------------

Une chose que je ne comprends pas est que F n'est pas le points d'intersection du segment [AC] et de la droite (GE)...

1) On fait le schéma et on se rend compte que la figure est la même que dans la partie I, en traçant les cercles et ', on peut retrouver l'affixe du point K qui est confondu avec d'affixe -1 + 2i
2) Ecriture complexe de s': z' = \frac{-1-8i}{13}z - \frac{30-20i}{13}

Affixe du centre : -1 + 2i

3) D'après le schéma fait en 1), je constate que les affixes de et de ' sont égales, soit que et ' sont confondus.

------------------------------------------------------------------------------

J'attends vos réponses...

Posté par
Happpy
re : DM Similitude Partie II 01-05-12 à 18:52

Désolé du double poste : Supplément de justification
3) Schéma fait en 1), hors, dans la partie I nous en avions déduit que était confondu avec K. Je place donc à l'intersection des deux cercles et ' où se trouve K.
Je peux lire l'affixe de qui est -1 + 2i

Ainsi, je constate que l'affixe de et de ' sont égales, d'où le fait que et ' sont confondus.

Posté par
cailloux Correcteur
re : DM Similitude Partie II 01-05-12 à 23:40

Bonsoir,

zF = 5

Plutôt z_F=\dfrac{5}{2} non ?

Posté par
Happpy
re : DM Similitude Partie II 01-05-12 à 23:54

re bonjour, effectivement, il y avait une erreur dans l'énoncé.

Sinon, mes réponses sont valables?
Je trouve un peu "facile" ma réponse à la question 3, même si c'est aussi une réponse, mais bon...

J'attends vos avis...

Posté par
cailloux Correcteur
re : DM Similitude Partie II 02-05-12 à 00:03

Je n' ai pas le même résultat:

Pour l' écriture complexe de s':

z'=-2iz-5

Et l' affixe du point fixe de s' est bien -1+2i

Un dessin:

DM Similitude Partie II

Posté par
cailloux Correcteur
re : DM Similitude Partie II 02-05-12 à 00:09

Pour 3)L' affixe de \Omega est solution de l' équation z'=z

soit z=-2iz-5 qui donne z=-1+2i

D' autre part, les points \Omega' et B intersection des deux cercles sont par construction, symétriques par rapport à la ligne des centres, c' est à dire l' axe des réels

Donc z_{\Omega'}=\overline{z_=-1+2iB}

On a bien z_{\Omega'}=z_{\Omega}

Posté par
cailloux Correcteur
re : DM Similitude Partie II 02-05-12 à 00:11

Zut:

z_{\Omega'}=\overline{z_B}=-1+2i

Posté par
Happpy
re : DM Similitude Partie II 02-05-12 à 00:27

Bizarre pour l'écriture complexe de s'

J'explique ma démarche :
Je peux écrire que zE = azA + b et zG = azC + b

Par soustraction :
zE - zG = a(zA - zC)

Je remplace :
a = (zE - zG)/(zA - zC) = 5/(2+4i-3+4i) ce qui me donne au final

a = (-1 - 8i)/13

Je cherche b :
zE = ((-1-8i)zA)/13

Je trouve b = (-30 + 20i)/13

Et quand je cherche le centre je trouve effectivement -1 + 2i

Posté par
cailloux Correcteur
re : DM Similitude Partie II 02-05-12 à 08:57

Tu as parfaitement raison:

z'=-2iz-5 est l' écriture complexe de la similitude directe s telle que \begin{cases}s(A)=C\\s(E)=G\end{cases}

z'=-\dfrac{1+8i}{13}z-\dfrac{30-20i}{13} est l' écriture complexe de la similitude directe s' telle que \begin{cases}s'(A)=E\\s'(C)=G\end{cases}

Toutes les deux ont même centre \Omega (-1+2i)

J' en étais resté à ton autre topic (partie I) et la similitude s...

Posté par
Happpy
re : DM Similitude Partie II 03-05-12 à 01:37


Pourriez-vous me confirmer pour la dernière question car je pense que ma justification est douteuse... même si c'est correcte...

Posté par
Happpy
re : DM Similitude Partie II 03-05-12 à 01:58

Cela me semble correcte car dans l'énoncé on dit bien de placer oméga, soit que je peux lire son affixe et la comparer à celle de omaga'... ?

J'attends confirmation... Je recopie là.
(ne vous inquiétez pas, où j'habite il est 20 heures !)

Posté par
cailloux Correcteur
re : DM Similitude Partie II 03-05-12 à 10:21

3) \Omega est le centre de la similitude directe s qui transforme A en C et E en G.

D' après ton autre topic (la partie I), son centre est le point d' intersection des deux cercles GEB et ABC autre que B

B et \Omega sont par construction symétriques par rapport à la ligne des centres qui est ici l' axe des réels.

Donc z_{\Omega}=\overline{z_B}=\overline{-1-2i}=-1+2i

Tu peux aussi vérifier que \Omega est le point invariant de la similitude directe définie par z'=-2iz-5

\Omega ' est le centre de la similitude directe s' qui transforme A en E et C en G.

Son écriture complexe est:

z'=-\dfrac{1+8i}{13}z-\dfrac{30-20i}{13}

On résout l' équation z'=z qui donne l' affixe de son point invariant:

On tombe sur z_{\Omega '}=-1+2i

On a bien \Omega =\Omega '



Posté par
Happpy
re : DM Similitude Partie II 03-05-12 à 12:53

D'accord !
Le "tu peux aussi" me permet de déduire que ce que j'ai mis le prouve aussi sachant que j'ai lu Omega -1+2i graphiquement à partir du schéma demande.

Merci encore pour l'aide !
Au Revoir.

Posté par
cailloux Correcteur
re : DM Similitude Partie II 03-05-12 à 21:17

Citation :
ce que j'ai mis le prouve aussi sachant que j'ai lu Omega -1+2i graphiquement


Lire graphiquement, c' est bien, mais ce n' est pas une preuve...



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