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dm spe math puissances de 2 modulo 7
bonjour j'ai un petit un DM de spe math .. et evidemment c(est la galere
exo1
soient a et b deux entiers naturels non nuls. Lorsqu'on divise a par b, le reste est 8. Lorsqu'on divise 2a par b le reste est 5 . Que vaut b ??
J'ai trouvé b=(3a-13)/2q est ce cela ???
exo2
1demontrer que pour tout entier n , 2^(3n) est congru a 1 modulo 7
2determiner les restes de la division par 7 des puissances de 2
soit p un entier naturel on considere le nbr : Ap=2^(p)+2^(2p)+2^(3p)
si p=3n quel est le reste de la division de Ap par 7
Demontrer que si p=3n+1 alors Ap est divisible par 7
etudier le cas ou p=3n+2
cet exercice me pose un serieu probleme ...
si quelqu'un avait pitie de moi... merci
bonsoir
a=bq+8 donc 8<b
2a=bq'+5 donc 5<b donc b>8
2a=2bq+16
donc
2bq+16=bq'+5
donc b(2q-q')=-11 donc b(q'-2q)=11 donc b divise 11
donc b=1 ou b=11
comme b>8 donc b=11
exo2
1) 2^(3n)=(2^3)^n=8^n
8=1 (7) donc 8^n=1 (7) donc 2^(3n)=1 (7)
2)
2=2 (7)
2²=4 (7)
2^3=1 (7)
donc
2^(3n)=1 (7) et 1<7 donc le reste est 1
2^(3n+1)=2 (7) et 2<7 donc le reste est 2
2^(3n+2)=4 (7) et 4<7 donc le reste est 4
Ap=2^(p)+2^(2p)+2^(3p)
si p=3n alors Ap=2^(3n)+2^(6n)+2^(9n)
=1+1+1 (7)
=3 (7) et 3<7 donc le reste est 3
p=3n+1
Ap=2^(3n+1)+2^(6n+2)+2^(9n+3)
=2*2^(3n)+4*2^6n)+2^(3(3n+1))
=2+4+1 (7)
=7 (7)
=0 (7) donc 7 divise Ap si p=3n+1
p=3n+2
Ap=2^(3n+2)+2^(6n+4)+2^(9n+6)
=4*2^(3n)+16*2^(6n)+2^(3(3n+2))
=4+2+1 (7)
=7 (7)
=0 (7) donc 7 divise Ap si p=3n+2
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