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DM SPE MATHS Le Lemme d'EUCLIDE
Bonjour à tous, j'ai un DM de spé à faire mais j'ai un peu de mal à commencer, est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer ? Merci d'avance
Soient a et b deux entiers de l'intervalle [1;p-1] et p un premier
Le but est de prouver que p ne divide pas le produit ab, en raisonnant par l'absurde.
On fixe a dans [1;p-1] et on suppose que l'ensemble I={ b€[1;p-1]tel que p|ab } est non vide.
L'axiome du bon ordre assure alors l'existence d'un plus petit élément de I: soit b(0) cet élément.
On désigne par r le reste de la divion euclidienne de p par b(0).
a) Justifier que a.b(0) congru à 0 modulo p
b) Montrer que r n'appartient pas à I et que a.r congru à 0 modulo p
c) En déduire que r=0 et conclure
Je sais que r<b(0)< p, mais à part cela je ne vois pas comment commencer.
pour la premiere partie de la b) je vois aussi: comme b(0) est le plus petit élément de I et que r < b(0), alors r n'appartient pas à I. Est-ce qu'il y a des fautes dans mes deux derniers messages?
Ca me parait bien compliqué pour ceci,
1<=a<=p-1 donc p ne divise pas a,de meme p ne divise pas b donc p ne divise pas ab sinon par Gauss on obtiendrait une contradiction.
p=b(0)q+r avec 0<=r<b(0) si r appartient à I on contredit la minimalité.
Donc r=0 la suite en decoule.
J'ai peut etre ete un peu elliptique,
de p=b(0)q+r en multipliant par a on obtient ap=ab(0)a+ar donc ar=ap-ab(0) et la tu peux deduire ce qu'il faut.
merci beaucoup, je n'ai pas bien compris comment je dois faire pour montrer que ar congru à 0 modulo p
Dans une autre question on me demande de considérer deux entiers quelconques a' et b' non multiples de p. En utilisant les reste des divisions euclidiennes de a' et b' par p, prouver que p ne divise pas a'.b'
Alors j'ai dis que a'=q(1)p +r(1) q(1) le quotient et r(1) le reste
b'=q(2)p +r(2) q(2) le quotient et r(2) le reste
donc a' congru à r(1) modulo p
b' congru à r(2) modulo p
donc a'b' congru à r(1)r(2) modulo p
si je dis que p ne divise ni r(1) ni r(2) et d'où p ne divise pas r(1)r(2), donc p ne divise pas a'b', cela suffit ou est-ce assez rigoureux?
dans une autre question on me demande de démontrer le lemme d'EUCLIDE:
Si un nombre premier p divise un produit x.y et si p est premier avec x, alors p divise y.
autre formulation: si x.y congru à 0 modulo p, et si p est premier avec x, alors y congru à 0 modulo p
Je ne vois pas bien comment faire.
tu es sûr de "ton" lemme d'Euclide?.. tu énonces le théorème de Gauss dans le cas particulier d'un nbre premier...
en fait c'est le lemme d'euclide selon la demonstration de K.F. Gauss dans les Disquisitiones arithmeticae
Si un nombre premier p divise un produit x.y et si p est premier avec x alors d'après le th. de Bezout, il existe des entiers u et v tels que pu+xv=1 donc en multipliant par y ypu+yxv=y, or par hypothèse p|xy donc p|xyv donc xvy=kp on a donc pyu+pk=y ou p(yu+k)=y donc p divise y
mais à aucun moment on ne se sert du fait que p est premier... pour moi, c'est le théorème de Gauss... mais bon, à confirmer!
je ne connais pas le théorème de bezout, je ne peut pas l'utiliser pour la démonstration, comment faire alors ?
autre proposition :
Si un nombre premier p divise un produit x.y alors p apparaît dans la décomposition en facteurs premiers de xy qui est le produit de la décomposition en facteurs premiers de x par celle de y.
Or p est premier avec x donc p n'apparait pas dans la décomposition de x donc p apparait dans la décomposition de y donc p divise y
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