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DM Spé Maths : Les triplets Pythagoriciens
Bonjour tout le monde !
Alors j'ai un devoir maison de spé maths à faire sur lequel j'éprouve pas mal de difficultés.
Votre aide me serait donc la bienvenue !
Voici l'énoncé :
Les triplets de Pythagore sont les triplets d'entiers (x;y;z) strictement positifs solutions de l'équation x² + y² = z².
1.a) On cherche les triangles rectangles pour lesquels l'hypoténuse dépasse d'une unité seulement un des côtés y de l'angle droit. Montrer alors que x² = 2y + 1.
b) En déduire que x peut s'écrire x = 2n + 1 avec n 
.
c) En déduire une famille de triplets pythagoriciens.
d) Donner les triplets pythagoriciens issus de cette famille avec z 
100.
2. Si (x;y;z) est une solution, on note d le plus grand des diviseurs communs à x, y et z. On note alors :
a = x/d , b = y/d et c = z/d .
a) Montrer que : x² + y² = z² 
a² + b² = c².
b) Montrer que a et b ne peuvent pas être tous les deux pairs.
c) Montrer que a et b ne peuvent pas être tous les deux impairs.
d) Supposons à présent que a = 2k avec k 
. Montrer que :
k² = [(c-b)/2] * [(c+b)/2]
e) On pose 
= (c-b)/2 et 
= (c+b)/2 . Montrer que et sont des nombres premiers entre eux.
f) En déduire qu'il existe des entiers u et v tels que : u² = et v² = avec 0 < v < u.
g) Exprimer alors a, b et c en fonction de u et v ; puis x, y et z en fonction de u, v et d.
h) Réciproquement, montrer que, s'il existe des entiers u, v et d strictement positifs avec u > v tels que x = 2duv , y = d(u²-v²) et z = d(u²+v²) , alors (x;y;z) est un triplet pythagoricien.
i) Donner la forme générale de tous les triplets pythagoriciens.
3. Application : Des égyptologues ont découvert, à une dizaine de kilomètres du Caire, un nombre N de tas de pierres cubiques. Chaque tas contient exactement 348 960 150 pierres. On sait que ces cubes de pierres étaient destinés à la construction d'une stèle ayant la forme d'un parallélépipède rectangle, pour honorer le dieu Râ, dont la hauteur devait être égale à la diagonale de la base. Pour des raisons mystiques, le nombre N était premier.
Déterminer les dimensions de la stèle.
Voilà !
J'espère très fort que quelqu'un pourrait me venir en aide. J'ai simplement réussi les questions 1.a) et 2.a). Je coince totalement sur le reste.
Merci beaucoup par avance !
bonjour
1a) tu l'as fait
z=y+1
donc x²+y²=y²+2y+1 donc x²=2y+1
b)tu prends le modulo 2 de chaque membre donc x²=1 (2) donc x est impair
donc il existe n tel que x=2n+1
c)
x²=2y+1
x=2n+1
z=y+1
donc
4n²+4n+1=2y+1 donc y=2n²+2n et donc z= 2n²+2n+1
le triplet (2n+1;2n²+2n;2n²+2n+1) est donc pythagoricien
d) z<=100 ssi 2n²+2n+1<=100 ssi n²+n-99/2<=0
ssi (n+1/2)²-(1+188)/4<=0
ssi (n+1/2-3V21/2)(n+1/2+3V21/2)<=0
ssi -(3V21+1)/2<= n <=(3V21/2-1)/2
ssi -2,79<=n<=1,79
ssi n=0 ou n=1
donc il y a deux triplés pythagoriciens (1;0;1) et (3;4;5)
tu continues
Je te remercie pour ces réponses mais je suis désolé, je n'arrive pas à comprendre ton raisonnement pour la 1.b). J'ai compris le reste sinon.
En revanche, j'ai beau chercher, je ne réussi pas la suite hormis les questions 2.a) et 2.d).
Ce serait vraiment sympathique de ta part si tu pouvait m'aider !
pour le 1b)
tu as x²=2y+1 donc x² est impair
si x était pair x² le serait aussi
comme x² est impair donc x ne peux être pair donc il est impair
Si (x;y;z) est une solution, on note d le plus grand des diviseurs communs à x, y et z. On note alors :
a = x/d , b = y/d et c = z/d .
a) a² + b² = c² et a;b et c sont premiers entre eux
b) si a et b sont pairs tous les deux alors a²+b² est pair donc c² est pair donc c est pair ce qui est en contradiction avec a;b et c sont premiers entre eux
donc a et b ne peuvent pas être pairs tous les deux
c)si a et b sont impairs tous les deux tu as a=2p+1 et b=2q+1
donc a²+b²=c² donc 4p²+4p+1+4q²+4q+1=c² donc 2(2p²+2p+2q²+2q+1)=c²
donc 2 divise c² comme 2 est premier donc 2 divise c donc c=2m
2(2p²+2p+2q²+2q+1)=c² donc 2(2p²+2p+2q²+2q+1)=4m² donc 2p²+2p+2q²+2q+1=2m²
donc donc 2(p²+p+q²+q)+1=2m²
or 2(p²+p+q²+q)+1 est impair et 2m² est pair donc contradiction
fonc
a et b ne peuvent pas être tous les deux impairs
d) est très simple tu pose a=2k pair donc b est impair nécessairement.
a²+b²=c² donc 4k²=c²-b²=(c-b)(c+b) donc k²=((c-b)/2)((c+b)/2)
e)je notte s=alpha et t=béta
s=(c-b/2) et t=(c+b)/2
montrons d'abord que s et t sont des entiers naturels
a pair donc b impiair
a²+b²=c² donc c² impair donc c impair
b et c impairs donc c-b et c+b sont pairs donc s et t sont des entiers naturels (c>b)
montrons qu'ils sont premiers entre eux.
on a : s+t=c et t-s=b
soit p un diviseur premier de s et de t
donc p divise c=s+t et p divise b=t-s
donc p divise c²-b²=a²
comme p est premier donc p divise a
en conclusion p divise a, b et c ce qui est en contradiction avec a, b et c premiers entre eux
donc p=1 et donc s et t sont premier entre eux;
f) k²=st et PGCD(s;t)=1
prenons la décomposition en nombres premiers de k
k=[(p1^a1).(p2^a2)...(pm^am)].[(p(m+1)^a(m+1)).(p(m+2)^a(m+2)...(pn^an)]
donc
k²=[(p1^a1).(p2^a2)...(pm^am)]².[(p(m+1)^a(m+1)).(p(m+2)^a(m+2)...(pn^an)]²=st
il suffi de prendre s=[(p1^a1).(p2^a2)...(pm^am)]² et t=[(p(m+1)^a(m+1)).(p(m+2)^a(m+2)...(pn^an)]²
m étant chosit tel que 0<s<t
g) s=u² avec u=[(p1^a1).(p2^a2)...(pm^am)]
t=v² avec v=[(p(m+1)^a(m+1)).(p(m+2)^a(m+2)...(pn^an)]
s+t=c=u²+v²
-s+t=b=v²-u²
et a=2k=2uv
donc x=2uvd y=d(v²-u²) et z=d(u²+v²)
h) c'est simple calcul
D'accord, merci beaucoup. Juste je n'ai pas compris comment tu as déduis pour la 2.a) que a,b et c sont premiers entre eux. Si tu pouvais m'expliquer s'il te plaît.
Et pour la 2.i) les triplets pythagoriciens sont les couples de la forme ( 2duv ; d(u²-v²) ; d(u²+v²) ), c'est bien ca ?
Enfin pour la 3., je ne comprends vraiment pas du tout.
Merci d'avance.
Help s'il vous plait ! Je risque fortement de ne pas être là la deuxième partie des vacances. C'est pour cela que j'aimerai bien que quelqu'un réponde juste à mes interrogations du post précédent afin de pouvoir terminer le DM au plus vite.
Cordialement.
Le DM est pour le lundi de la rentrée mais je dois absolument le finir au plus tard demain car je ne serai pas là après. J'a
Désolé, mon message a eu un problème. Je disais que j'avais tout fait sauf la 3 finalement. Donc si Watik tu pouvais juste m'aider pour la 3 car je suis totalement perdu. Encore une fois, merci par avance.3
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