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dm Spé Matrices

Posté par
ashley1 27-12-12 à 15:16

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour un dm en spé maths..
Dans une réaction chimique impliquant 2 composés A et B, à chaque minute 60% du composé A ne réagit pas, le reste se transformant en B alors que seul 30% du composé B se transforme en A. Aucun autre composé n'est produit lors de la réaction.
On considère 2 suites de nombres réels (Un) et (Vn) donnant les proportions des composés n minutes après le début de la réaction ( n est un entier positif ou nul).
On note Pn la matrice colonne égale à (Un   Vn)

La première question c'est
1.Exprimer les proportions Un+1 et Vn+1 en fonction de Un et Vn
Alors j'ai pensé à Un+1= 40Un et Vn+1= 30Vn

Merci pour votre aide.

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 27-12-12 à 15:22

Bonjour,
  1) les  60% du A  restent du A et les 40% du A deviennent du B
les  30% de B deviennent du A  les 70% de B restent du B

U_{n+1}=0,6U_n+0,3V_n
V_{n+1}=0,4U_n+0,7V_n

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 27-12-12 à 15:41

Ah oui d'accord mais vous pouvez juste m'expliquer pourquoi c'est pas Un+1= 0.6Un +0.4 Vn et Vn+1=0.3Un + 0.7 Vn

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 27-12-12 à 16:22

Citation :
Ah oui d'accord mais vous pouvez juste m'expliquer pourquoi c'est pas Un+1= 0.6Un +0.4 Vn et Vn+1=0.3Un + 0.7 Vn

?????

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 27-12-12 à 17:34

Nan nan en fait c'est bon.

Après
-En déduire que Pn+1= M*Pn où M est une matrice carré d'ordre 2 que l'on explicitera.
donc j'ai posé (Un  Vn) * (0.6   0.3
                           0.4   0.7) = (0.6Un+0.3Vn
                                         0.4Un +0.7Un)
-Montrer par récurrence que Pn =M^n * P0 pour n E N.
initialisation : pour n=0
P0=M^0*P0
(1 0  * (U0    V0) = (U0   V0) = P0 donc P(0) est vraie.
0 1)

Hérédité : pour un entier naturel p
Pp=M^p*P0
Pp*M = (M^p*P0)*M
Pp*M= M^p+1 * MP0
Pp*M*Pp= (M^p+1 *MP0) * Pp
Pp+1= M^p+1 * P0
donc P(p+1) est vraie.
initialisée et héréditaire donc pour tout n E N, Pn= M^n*P0

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 27-12-12 à 18:33

attention revois multiplication matrices  
\begin{pmatrix}Un  Vn\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,6   0,3\\0,4   0,7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,6Un+0,4Vn      0,3U_n+0,7Vn\end{pmatrix}

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 28-12-12 à 10:46

Citation :
En déduire que Pn+1= M*Pn où M est une matrice carré d'ordre 2 que l'on explicitera.

tu ne tiens pas compte de l'énoncé...et tu fais n'importe quoi...
comme tu ne peux multiplier  la matrice M carrée (2,2)par  la matrice Pn ligne (1,2)  car on te demande de calculer MPn alors tu calcules Pn.M.....
Pn la matrice colonne égale à \begin{pmatrix}U_n\\V_n\end{pmatrix}
M=\begin{pmatrix}a   b\\c   d\end{pmatrix}
P_{n+1}=M.P_n=\begin{pmatrix}a   b\\c   d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}U_n\\V_n\end{pmatrix}= \\ \begin{pmatrix}aU_n+bV_n\\cU_n+dV_n\end{pmatrix}= \\ \\ \begin{pmatrix}0,6U_n+0,3V_n\\0,4U_n+0,7V_n\end{pmatrix} \\ \\ M=\begin{pmatrix}0,6  0,3\\0,4  0,7\end{pmatrix} \\

Citation :
Montrer par récurrence que Pn =M^n * P0 pour n E N.

Citation :
initialisation : pour n=0
P0=M^0*P0
(1 0  * (U0    V0) = (U0   V0) = P0 donc P(0) est vraie.
0 1)


tu ne peux effectuer ce calcul... apprends le cours


Citation :
Pp=M^p*P0
Pp*M = (M^p*P0)*M

la deuxième ligne est fausse car tu dois calculer \red M.Pp
de plus :
Pp.M calcul impossible   (voir règles multiplication matrices)
initialisation
M^0=I_2
I_2 élément neutre pour la multiplication
P_0=I_2.P_0=P_0
hérédité
supposons P_n=M^{n}.P_0 vraie
P_{n+1}=MP_n=M.(M^{n}.P_{0})=(M.M^{n}).P_{0}=M^{n+1}.P_{0} \\
tu rédiges....

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 28-12-12 à 14:34

J'ai compris mes erreurs...

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 28-12-12 à 14:39

c'est le principal ...

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 28-12-12 à 14:51

Je suis en train de faire les autres questions (prouver que M est inversible,matrice inverse de M....) pour l'instant c'est bon et si j'ai un soucis pour une autre question je vous fais signe

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 28-12-12 à 15:02

Je dois calculer M^-1*P3 sachant que P3= M*M*M*P0
j'ai déjà calculé M^3 mais P0 est égale à quoi ?

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 28-12-12 à 15:15

Non c'est bon j'ai trouvé

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 28-12-12 à 15:17

M^{-1}P3=M^{-1}.M^3P_0=M^2P_0

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 28-12-12 à 15:34

Après 3 minutes d'expérience, un dosage fait apparaître que la proportion du composé A est de 42% et B de 58%
Quelles étaient les proportions initiales exactes (U0 et V0) de chaque composé en début de réaction.
(sachant que dans la question d'avant on a du démontrer que P0= (M^-1)^3*P3)

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 28-12-12 à 15:58

que trouves-tu pour M^{-1}

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 28-12-12 à 15:59

7/3  -1
-4/3  2

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 28-12-12 à 16:17

OK

P_0=(M^{-1})^{3}P_3=\begin{pmatrix}\frac{7}{3}  -1\\\frac{-4}{3}  2 \end{pmatrix}^3\begin{pmatrix}0,42\\0,58\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,4\\0,6\end{pmatrix}

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 28-12-12 à 18:03

Ahh d'accord merci beaucoup

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 28-12-12 à 18:28

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 29-12-12 à 11:06

J'aurais besoin d'une piste pour commencer parce que je suis bloqué :
Montrer par récurrence que pour tout n sup ou égal à 0 : M^n+1-M^n=0.3^n * (M-I2)
Je sais qu'on doit arriver à M^n+2-M^n+1=0.3^n+1 * (M-I2)

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 29-12-12 à 14:49


initialisation  (sur deux rangs consécutifs)
n=0
M^1-M^0=M-I_2=0,3^0(M-I_2) OK
n=1
M^2-M^1=\begin{pmatrix}0,48  0,39\\0,52  0,61\end{pmatrix} \\ -\begin{pmatrix}0,6  0,3 \\0,4   0,7\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}-0,12  0,09\\0,12  -0,09\end{pmatrix}
et
0,3^1(M-I_2)=0,3\begin{pmatrix}-0,4  0,3 \\0,4   -0,3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-0,12  0,09\\0,12  -0,09\end{pmatrix}
M^2-M^1=0,3(M-I_2)
OK
vraie au rang 0 et au rang1
hérédité  
supposons vraie au rang k
M^{k+1}-M^k=0,3^k(M-I_2)
d'où
M^{k+2}-M^{k+1}=M(M^{k+1}-M^k)=M.0,3^k(M-I_2)=0,3^k(M^2-MI_2)=0,3^k(M^2-M)=0,3^k.0,3(M-I_2) =0,3^{k+1}(M-I_2)
==> vraie au rang k+1

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 29-12-12 à 17:08

l'initialisation j'avais trouvé mais le reste je voyais pas mais maintenant c'est bon, merci

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 29-12-12 à 17:42

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 30-12-12 à 10:34

J'ai un soucis pour une question je dois trouver l'expression M^n=10/7 (1-0.3^n)(M-I2) en écrivant successivement M^n-M^n+1=0.3^n-1(M-I2)
                                                                                                                  M^n-1 - M^n-2=....
                                                                                                                   ........    = .....
et en additionnant chaque membre de chaque égalité.
M^n je vois comment on le trouve puisque le M^n+1 s'annule avec celui d'en dessous et pareil pour les autres, (M-I2) je vois aussi mais 10/7(1-0.3^n) je sais pas ... :/

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 30-12-12 à 17:58

M^n-M^{n-1}=0,3^{n-1)(M-I_2) \\ M^{n-1}-M^{n-2}=0,3^{n-2}(M-I_2) \\ ... \\ M_2-M=0,3(M-I_2) \\ M_1-M_0=(M-I_2) \\ M_n=\Sum_i=0^{n-1}0,3^(i)(M-I_2)


\Sum_{i=0}^{i=n-1}0,3^{i}=
somme des n termes d'une suite géométrique de raion 0,3 et de premier terme 1
=1.\frac{1-0,3^n}{1-0,3}=\frac{10}{7}(1-0,3^n)

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 31-12-12 à 10:32

Et donc on peut déduire que l'expression de M^n en fonction de n= 10/7 (1-0.3^n) ?

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 31-12-12 à 13:37

il ne faut  pas oublier le facteur (M-I_2)
M^n=\frac{10}{7}(1-0,3^n)(M-I_2)

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 02-01-13 à 11:21

Dans le message du 30/12 à 10:34 je me suis trompé c'est pas M^n=10/7 (1-0.3^n)(M-I2)que je dois trouver mais M^n=10/7 (1-0.3^n)(M-I2)+I2

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 02-01-13 à 12:57

c'est préférable...j'avais oublié le terme M^0 en sommant les colonnes
M^n-M^{n-1}=0,3^{n-1)(M-I_2) \\ M^{n-1}-M^{n-2}=0,3^{n-2}(M-I_2) \\ ... \\ M^2-M^1=0,3(M-I_2) \\ M^1-M^0=(M-I_2)
en sommant les colonnes
==>
M^n-M^0=\Sum_{i=0}^{n-1}0,3^{i}(M-I_2)

M^n=\frac{10}{7}(1-0,3^n))(M-I_2)+M^0
M^n=\frac{10}{7}(1-0,3^n))(M-I_2)+I_2

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 02-01-13 à 13:22

en déduire l'expression de M^n c'est ça ou on peut encore simplifier ?

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 02-01-13 à 20:48

tu peux calculer M-I_2

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 02-01-13 à 21:07

M-I2 =
-0.4  0.3
0.4   -0.3

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 02-01-13 à 21:26

c'est la dernière question ..., car cela ne simplifie pas vraiment l'expression de M

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 03-01-13 à 10:49

Je laisse l'expression comme ça alors c'est pas grave
En tout cas merci beaucoup pour votre aide, merci !

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 03-01-13 à 13:02

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 07-01-13 à 19:34

Encore une dernière question....
je ne trouve pas comment je peux montrer que le terme général de la suite (Un) est Un=(27/63) - (20/63)*0.3^n

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 07-01-13 à 21:21

tu confirmes (20/63)*0.3^n???
P_n=\begin{pmatrix} U_n\\V_n\end{pmatrix}=M^n.\begin{pmatrix}0,4\\0,6\end{pmatrix}
il  ne reste plus qu' à effectuer ce calcul...

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 07-01-13 à 22:08

c'est P_0 qui est faux...
j'ai refait le calcul
P_0=\begin{pmatrix} \frac{1}{9}\\ \frac{8}{9}\end{pmatrix}

seule la première ligne de M_n est utile

U_n=[(\frac{10}{7}-\frac{10}{7}.0,3^n)(-0,4)+1 ]\times \frac{1}{9}+(\frac{10}{7}-\frac{10}{7}.0,3^n)(0,3)\times \frac{8}{9}
=\frac{3}{7}\times \frac{1}{9}+\frac{4}{7}\times \frac{1}{9}.\times 0,3^n+\frac{3}{7}\times \frac{8}{9}-\frac{3}{7}\times \frac{8}{9}\times 0,3^n
=\frac{3}{63}+\frac{4}{63}\times 0,3^n+\frac{24}{63}-\frac{24}{63}\times 0,3^n \\ =\frac{27}{63}-\frac{20}{63}\times 0,3^n \\     

Posté par
ashley1re : dm Spé Matrices 09-01-13 à 20:59

Ahh oui merci beaucoup !

Posté par
Labore : dm Spé Matrices 09-01-13 à 21:54


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