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Dm ( spécialité): Division euclidienne et PGCD
Bonjour,
Voici un exercice que j'ai du mal à résoudre.
Soit n un entier naturel non nul.
On considère les suites (an), (bn), (cn) définies par :
an = 4 x 10n-1,
bn = 2 x 10n-1,
et cn = 2 x 10n+1
1. Calculer les 3 premiers termes de chaque suite.
Pas de problème, j'ai mis a0=3, a1=39, a2=399, b0=1, b1=19, b2=199, c0=3, c1=21, c2=201
2. a) Quelles conjectures peut-on faire concernant la divisibilité de an, bn et cn par 3?
J'ai mis que an et cn semblent être divisible par 3. bn ne semble pas être divisible par 3. Et j'ai remarqué que lorsque les termes de la suite sont des nombres premiers, ceux-ci ne sont pas divisibles par 3 (éxcepté 3).
Démontrer ces conjectures.
b) En remarquant que an = 2cn-3 calculer PGCD(an, cn)
J'ai mis : Soit 2cn - 3 = 2(2x10n+1) - 3 = 4x10n+2-3 = 4 x 10n-1.
Donc an= 2cn-3.
Soit : PGCD( an; cn)
=PGCD(2cn-3 ; cn )
=PGCD(cn; cn-3)
=-3
3. a) Le nombre b3 est-il premier? Justifier.
J'ai mis b3 = 1999
On utilise le critère de primalité.
Vérifions si 1999 est premier: On a : 
1999 
44,7. Les nombres premiers 
44,7 sont : 2, 11... Aucun ne divise 1999, donc 1999 est premier.
b) Factoriser a2n.
c) Déduire de ce qui précède la décomposition en produit de facteurs premiers de a6.
4. Déterminer PGCD(bn; cn).
Les question en gras sont celles que je n'ai pas réussi à résoudre correctement. Quelqu'un pourrait-il me guider, ou m'aider à résoudre cet exercice.
Merci d'avance.
Et j'ai remarqué que lorsque les termes de la suite sont des nombres premiers, ceux-ci ne sont pas divisibles par 3 .
ça me semble correcte ce que tu as dit.Cela dit ta remarque est peu pertinente un nombre est premier si il est divisible que par 1 et lui même alors...
On ne peut rien quand à la divisibilité de b_n si ce n'est que ces termes semblent au départ premier.
a_n et c_n semble être a priori divisible par 3.
A priori b_n ne l'est pas.Car dès que n=1 b_1=1 qui n'est pas divisible par 3
Bon ben si t'es sûr de ton coup pour le 2b) c'est bon.
3c)
a_{2n}=(2(10^n))²-1=(2(10)^n+1)(2(10)^n-1)
a_6=a_{2(3)}=(2(10)^3+1)(2(10)^3-1)=1999(2001)=1999(3)(23)(29)
nonjour, je ne suis pas d'accord avec votre calcul des 3 premiers termes de la suite. il ne faut pas oublier que n est un entier naturel NON NUL. donc il faut calculer a1,a2,a3 et non a0,a1,a2
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