J'écris "a" à la place de Theta.

Il y a une bisbrouille dans l'énoncé.

A partir de Un = 2.cos(a/2^n)
Si on fait n = 0 --> U(0) = 2.cos(a /2^0)
U(0) = 2.cos(a) et ceci ne colle pas avec la donnée U(0) = 2.cos(a/2)

Par contre si on dit U(1) =  2.cos(a/2), c'est OK.

En effet A partir de Un = 2.cos(a/2^n), on trouve U(1) = 2.cos(a/2^1) = 2.cos(a/2)
et cela colle avec U(1) =  2.cos(a/2)

Je fais donc l'exercice avec U(1) = 2.cos(a/2) et pas U(0) =  2.cos(a/2)

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Supposons que U(n) = 2.cos(a/2^n) pour une certaine valeur de n.  (1)

On a alors:
U(n) = 2.cos(a/2^n)
U(n+1) = racine(2 + 2.cos(a/2^n))
U(n+1) = Racine(2) . racine(1 + cos(a/ 2^n))
U(n+1) = Racine(2) . racine(1 + cos(2a/ 2^(n+1)))
U(n+1) = Racine(2) . racine(1 + cos(2a/ 2^(n+1)))

Avec la relation cos(2x) = 2cos²(x)-1, on a: 1 + cos(2x) = 2cos²(x)

En posant x = a/(2^(n+1)) --> 1 + cos(2.a/(2^(n+1))) = 2cos²( a/(2^(n+1)))

U(n+1) = Racine(2) . racine(2cos²( a/(2^(n+1))))

U(n+1) = Racine(2) . racine(2).racine(cos²( a/(2^(n+1))))

U(n+1) = 2.cos(a/(2^(n+1))))
Et ceci est la relation (1) dans laquelle on a remplacé n par (n+1)

Donc si  U(n) = 2.cos(a/2^n) est vrai au rang n, c'est encore vrai au rang (n+1)  (2)

Avec n = 1 --> U(1) = 2.cos(a/2^1) = 2.cos(a/2).

La relation U(n) = 2.cos(a/2^n) est donc vraie pour n = 1.

Comme la relation  U(n) = 2.cos(a/2^n) est vraie pour n = 1, par (2) est est vraie pour n = 2.
Comme la relation  U(n) = 2.cos(a/2^n) est vraie pour n = 2, par (2) est est vraie pour n = 3.
Comme la relation  U(n) = 2.cos(a/2^n) est vraie pour n = 3, par (2) est est vraie pour n = 4.
...
Et ainsi de proche en proche, U(n) = 2.cos(a/2^n) est vraie pour tout n de N*
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Sauf distraction.  

Bonsoir,
Je vous remercie pour votre aide.
Cela m'a beaucoup aider.