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Niveau seconde
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DM sur Droite d'Euler

Posté par
nitneuq59
26-05-12 à 11:22

Bonjour , j'ai un dm a rendre dans quelques jours avec pour titre la Droite d'Euler ...
J'essaie de faire 1 , 2 questions en vain ... a croire que je n'ai pas été à l'école ..
Je suis en 2GT .
J'ai un triangle ABC n, h orthocentre , g centre de gravité , o centre du cercle circonscrit .
Je bloque déja à la premiere , il sagit d'émettre deux conjectures cocnernant les points g , h , o .. en déplacant a .
Merci d'avance

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : DM sur Droite d'Euler 26-05-12 à 11:38

Bonjour,
as-tu cherché sur le web 3droite d'Euler" ?....
je suppose que tu utilises un logiciel de géométrie dynamique comme Géogebra...en déplaçant le sommet A, si tu as construit convenablement les points O, G et H, tu devrais constater qu'ils sont alignés

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 26-05-12 à 11:38

conjecture : il semble que g soit au tiers du segment [oh]
DM sur Droite d\'Euler

Posté par
nitneuq59
... 28-05-12 à 18:24

Donc , d'après vous , la réponse à la question : en déplaçant A quelles sont les 2 conjectures avec les points G , H , O ?
Ce serait que soit au G soit au 2/3 de OH et que OGH soient alignés ?
Merci d'avance

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 18:27

euh, ma compréhension de ton expression écrite n'est pas tout à fait à la hauteur, mais si tu veux l'exprimer ainsi, nul doute que ton prof va apprécier.
tu t'es relu ?

Posté par
nitneuq59
... 28-05-12 à 18:28

Mais comment démontrer que ( CH ) et ( BA' ) sont parallèles ?
Je n'ai aucune piste de trouvée ...

Posté par
nitneuq59
... 28-05-12 à 18:29

Pardon , effectivement je suis un peu fatigué ...
Donc ce que je voulais et que les 2 conjectures à démontrer après sont :
- G au 2/3 de OH
- O, G , H alignès

Suis je plus clair ?

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 18:32

Mais comment démontrer que ( CH ) et ( BA' ) sont parallèles ?

et bien on progresse

jusque là tu ne franchissais pas la barrière de la conjecture, et maintenant tu veux démontrer.

puis-je respectueusement te faire remarquer que si tu as défini A, B, C, O, H, G, tu n'as pas défini A' ?

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 18:33

j'ai écrit :
conjecture : il semble que g soit au tiers du segment [oh]
tu as traduit
- G au 2/3 de OH

tu dois vraiment être très fatigué

Posté par
nitneuq59
... 28-05-12 à 18:37

J'ai bien représenté mon point diamétralement opposé à A qu'est A' sur mon dessin de Geogebra . Pouvez vous m'éclairer sur quelle piste chercher ?

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 18:42

J'ai bien représenté
sûrement, mais tu n'en avais rien dit jusque là
j'apprécie que tu nous penses capable de lire à distance dans ton esprit, voire par dessus ton épaule.
mais j'ai peur que tu ne nous prêtes de trop grands pouvoirs.

donc O est le milieu du segment [AA']

et grâce à GeoGebra, peux-tu me dire ce que t'inspire l'angle ABA' ?

Posté par
nitneuq59
.. 28-05-12 à 18:43

Oui je suis bien fatigué désolé , je me concentre .
Maintenant que les conjectures à démontrer sont trouvées , comment démontrer que (ch) et (ba') sont parallèles ?
Peut être avec les vecteurs et la loi de Chasles ?

Posté par
nitneuq59
... 28-05-12 à 18:45

D'après Geogebra , il s'agit d'un angle droit à 90 ° mais je ne vois pas ou vous voulez en venir ?

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 18:52

alors justifie maintenant cette nouvelle conjecture, en plongeant dans tes souvenirs de classe de Quatrième, et ensuite compare les angles ABA' et BH_CC, où H_C est le pied de la hauteur issue de C

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 18:54

DM sur Droite d\'Euler

Posté par
nitneuq59
... 28-05-12 à 19:08

Je me casse la tête sur votre piste mais je ne trouve pas , est ce bien avec les angles alternes internes de même mesure ??

Posté par
nitneuq59
... 28-05-12 à 19:15

La hauteur est la droite qui passe par la sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet .
or toute si une droite est perpendiculaire à l'une , elle est perdenulaire à l'autre .
deux droites sont perpendiculaires à une meme troisième droite alors elles sont parallèles entre elles .
est ce la bonne piste ?

Posté par
nitneuq59
... 28-05-12 à 19:51

Cette question est faite , fallait il démontrer que ABA' = 90 ° selon Geogebra ?
Maintenant , il m'est demandé de démontrer que segments BC et HA' ont le même milieu . Sans me donner la solution , pouvez vous me dire quelle raisonnement suivre ?

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 19:53

j'aimerais bien que tu montres un peu plus d'assurance

ça ne te paraît pas clair ?

1) dans le plan, deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles entre elles
2) dans un cercle, tout point X du cercle en dehors d'un diamètre YZ forme un triangle XYZ qui est rectangle en X

donc
- la hauteur (CH) est perpendiculaire à la droite (AB)
- le triangle ABA' est rectangle en B puisque B est sur le cercle de diamètre AA'
- donc la droite (A'B) est perpendiculaire à la droite (AB)

- donc les deux droites (CH) et (A'B) sont parallèles entre elles

l'art et la manière d'additionner 1 et 1

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 19:57

et pour la suite, puisque tu souhaites juste une indication, intéresse-toi aux deux droites (BH) et (A'C), puis au quadrilatère BHCA'

Posté par
nitneuq59
... 28-05-12 à 20:17

Je pense que cela pourrait être la relation vectorielle avec la loi du parallélogramme et avec les diagonales qui se coupent en leurs mileu , point I . est ce la bonne piste ?

Posté par
nitneuq59
. 28-05-12 à 20:36

On a prouvé que BA' et CH étaient parallèles , il reste donc à prouver que BH et A'C le sont aussi non ?
Pour ensuite dire la propriété des diagonales .. ?
J'ai encore besoin d'aide svp ..

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 20:45

creuse, tu approches

Posté par
nitneuq59
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 21:37

BHA'c quadrilatère , or BA' etCH sont parallèles .
alors si dans un quadrilatère les côtés opposés sont parallèles  , alors il s'agit d'un parallélogramme ?

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 22:00

pourquoi es-tu incapable de vérifier par toi-même si ton affirmation est vraie ou fausse

ce n'est pas que je refuse de te le dire, mais tu affirmais
Sans me donner la solution , pouvez vous me dire quelle raisonnement suivre ?
si je te donne le raisonnement, je te donne la solution

or tu n'arrives pas à t'auto-compléter.

bon, alors voilà :
(CH) hauteur issue de C donc (AB)\bot(CH)
B sur cercle de diamètre AA' donc (BA')\bot(AB)

donc (BA')//(CH)

ça, tu y es finalement arrivé
(BH) hauteur issue de B donc (AC)\bot(BH)
C sur cercle de diamètre AA' donc (CA')\bot(AC)

donc (CA')//(BH)

deux couples de droites parallèles forment effectivement un parallélogramme
A'BHC est un parallélogramme

et une caractéristique vue en Cinquième des parallélogrammes est que leurs diagonales se coupent en leurs milieux

donc les deux segment [BC] et [A'H], diagonales du parallélogramme A'BHC, se coupent en leur milieu, que j'ai appelé I_A

DM sur Droite d\'Euler

Posté par
nitneuq59
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 22:07

Merci beaucoup pour cette réponse , si je manque de confiance quand j'essaie de formuler une réponse , c'est que je ne suis sur de rien .... C'est pour cela !
Encore merci
J'ai maintenant à en déduire que G est le cnetre de gravité du triangle AHA'.
- On sait que J milieu de AH'
- la médianne est la droite passant par J issue de A .
De même pour les autre côtés ..
Et donc le centre de gravité est le point d'intersection de ces médianes .

Posté par
nitneuq59
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 22:29

Besoin d'aide pour cette question car mon cours mon dit que le vecteur AG est egale au 2/3 du vecteur AJ , mais comment en déduire que G est le centre de gravité avec  J milieu de A'H et O milieu de AA' .
Merci d'avance pour le coup de pouce !!

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 22:52

c'est que je ne suis sur de rien .... C'est pour cela !
eh bien il faut vite que tu apprennes à vérifier par toi-même
à l'ère d'Internet, il y a quand même de la matière.

je ne prétends pas que tu ne dois pas recourir à notre aide, mais retrouver la définition et les propriétés d'un parallélogramme, il est inconvenant que tu attendes qu'on te rassure sur ce point-là. Tu saisis la différence ?

J'ai maintenant à en déduire que G est le centre de gravité du triangle AHA'.

tout cela est bien intéressant, mais c'est la définition de l'énoncé : tu disais dans ton premier message que G était le centre de gravité, tu n'as pas besoin de le déduire

ce qu'il te faut déduire, montrer, c'est que G est bien, comme ta conjecture le prétend, au tiers du segment [OH]

- On sait que J milieu de AH'
Tout cela est bien intéressant, mais nulle part tu ne donnes la définition de H'.

- la médiane est la droite passant par J issue de A .
De même pour les autre côtés ..
Et donc le centre de gravité est le point d'intersection de ces médianes .

et alors ? ça ne fait pas de G un point de [OH]...

voici une démonstration purement géométrique du résultat attendu (il existe une démonstration vectorielle peut-être plus simple, mais c'est une question de goût)

dans le triangle A'AH, O est milieu de A'A, I_A est milieu de A'H
donc d'après de théorème de Thalès, [AH] est double de [OI_A]

prenons maintenant les deux segments [OH] et [AI_A]
on veut montrer qu'ils se coupent en G, mais on n'en sait encore rien. Alors appelons G_1 leur point d'intersection, nous allons montrer que G_1 EST le centre de gravité

les triangles G_1OI_A et G_1HA forment une configuration de Thalès en papillon, car (OI_A)//(AH)

donc nous avons grâce à Thalès les rapports suivants :
\frac{G_1I_A}{G_1A}=\frac{OI_A}{AH}

mais nous venons de voir que [AH] est double de [OI_A]

donc \frac{G_1I_A}{GA}=\frac12

et finalement cette dernière relation nous permet d'établir que G_1 est au tiers de la médiane I_AA : c'est une caractéristique du centre de gravité du triangle :

on vient d'établir que ce point G_1, intersection de [OH] et de la médiane, est confondu avec G, centre de gravité du triangle

Thalès, pour finir, nous permet aussi d'écrire
\frac{OG}{GH}=\frac{OI_A}{AH}

ce qui permet d'établir que G est bien au tiers du segment [OH]

DM sur Droite d\'Euler

Posté par
nitneuq59
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 23:25

Encore une fois merci de votre aide apportée , j'espère en tirer des leçons pour mes futurs façons de raisonner devant des problèmes mathématiques . La dernière question est de prouver les conjectures du début , celle ou G est au tiers de la médiane c'est ok mais pour prouver l'alignement des points ... Je cherche , je pars sur la piste de la colinéarité

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 23:27

mais, ...
relis bien, c'est fait.

Posté par
nitneuq59
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 23:29

Désolé , je ne vois pas quelle parti de vos rasionnement vient prouver cet alignement ... la parti thalès papillon ?

Posté par
dhalte
re : DM sur Droite d'Euler 28-05-12 à 23:34

je pars de l'intersection [OH]\cap [AI_A] que j'appelle G_1, et dont je ne sais pas au départ s'il est égal à G

mais G_1 est sur [OH], donc O,G_1,H sont déjà alignés

ensuite je montre que G_1=G

donc O, G et H sont alignés



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