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DM sur la fonction exponentielle.

Posté par
Gix
31-10-15 à 15:22

Bonjour, j'ai un gros problème pour finir un DM de maths sur lequel je bloque depuis un moment.

Voici l'énoncé :

Après les avoir représentées dans le repère ci-dessous , justifier  la position relative des courbes représentatives des fonctions f et g définies sur R par  f(x) = e^(-2x) et g(x)=e^(-x2).

Pour ce qui est de tracer les courbes je n'ai pas eu de problèmes.

C'est lorsqu'il s'agit de justifier la position relative des deux courbes que cela se corse.

Je sais qu'il faut étudier le signe de f(x)-g(x), ce qui nécessite de déterminer la dérivée de cette expression.

J'ai commencé par appliquer les propriétés que je connais sur la fonction exponentielle pour transformer l'expression :

f(x)-g(x) = (e^(-2x)) - (e^(-x2))
          
          = (1/(e^(2x))) - (1/(e^(x2))

          = 1/((e^(2x))-(e^x2)

Je n'ai pas été plus loin.

A présent je voudrais trouver la dérivée de cette expression. Le problème c'est que j'ai du mal à voir comment l'obtenir. Je pensais employer la propriété apprise en première : si f=1/V alors f'= -(V'/V2) qui me semble appropriée mais j'ai du mal à savoir comment l'appliquer justement.

Mon problème c'est la constante e et la propriété de la fonction exponentielle qui est sa propre dérivée. J'ai du mal avec ce chapitre et je ne voit pas bien comment appliquer ce que je sais à mon problème.

J'ai essayé de reprendre mes cours pour y voir plus clair, recherché dans les exercices fait en cours et repris les leçons du livre mais je n'avance pas et j'en viens à manquer de temps.

En dernier recours je viens chercher de l'aide ici, si quelqu'un veut bien m'aider.

Merci d'avance.

Posté par
malou Webmaster
re : DM sur la fonction exponentielle. 31-10-15 à 17:04

Bonsoir

houlla..mal parti(e)

on te demande la position relative

c'est seulement dire si la différence que tu as calculée est positive ou négative

f(x)-g(x) = (e^(-2x)) - (e^(-x²))

f(x)-g(x) > 0 pour (e^(-2x)) - (e^(-x²)) > 0 pour (e^(-2x)) > (e^(-x²)) pour -2x > -x² etc....et on est revenu à des choses connues....(attention cependant à ne pas écrire n'importe quoi pour terminer !)

de même, tu ferais f(x)-g(x) < 0 pour savoir quand c'est négatif (mais une seule des deux démonstrations suffit)

Posté par
Gix
re : DM sur la fonction exponentielle. 31-10-15 à 19:31

D'accord.

C'est vrai que ça a l'air plus simple. Je vais me pencher à nouveau sur le problème et je reviendrai avec ce que j'ai trouvé, mais ça me parait déjà plus clair.

Merci du coup de pouce.

Posté par
malou Webmaster
re : DM sur la fonction exponentielle. 31-10-15 à 19:55

OK!

Posté par
Gix
re : DM sur la fonction exponentielle. 31-10-15 à 21:25

Alors, j'ai effectué le calcul comme vous me l'avez conseillé.

Je trouve :

e^(-2x) > e^(-x2)
    -2x > -x2
     2x > x2
    
Et là je suis à nouveau embêtée. Si je ne me suis pas trompé, alors je doit trouver racine carrée de 2x supérieure à x. Or je n'arrive pas à résoudre l'inéquation, il me manque une étape.

Je crois deviner que je dois trouver x < 0 en bout de course mais je ne vois pas comment y parvenir.

Posté par
malou Webmaster
re : DM sur la fonction exponentielle. 31-10-15 à 21:48

Citation :
e^(-2x) > e^(-x²)
-2x > -x²


et ensuite c'est faux

tu multiplies par -1
tu dois changer le sens de l'inégalité...

donc devant ce genre d'inégalité, je te conseille de tout mettre dans un même membre

cela ferait donc
x² - 2x > 0
et on travaille par factorisation

x(x-2)> 0

signe du produit...

Posté par
Gix
re : DM sur la fonction exponentielle. 31-10-15 à 22:15

Effectivement, je viens de remarquer mon erreur.

Donc x(x-2) > 0 si x > 0 ou x > 2. Soit g(X)>f(x) sur l'intervalle [0;2].

C'est ça ?

Posté par
Gix
re : DM sur la fonction exponentielle. 31-10-15 à 22:17

Pardon, je rectifie :

x(x-2) > 0 si x < 0 ou x > 2.

Posté par
malou Webmaster
re : DM sur la fonction exponentielle. 01-11-15 à 09:10

eh oui, c'est ça cette fois, et de là tu tires les positions relatives de tes deux courbes !

Posté par
Gix
re : DM sur la fonction exponentielle. 01-11-15 à 12:27

Merci pour votre aide.

Posté par
malou Webmaster
re : DM sur la fonction exponentielle. 01-11-15 à 13:20

de rien, bonne continuation à toi !....



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