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DM sur les dérivées de fonctions

Posté par
anoukg
13-09-20 à 20:41

Bonsoir, j'ai un devoir à faire, dont le sujet est le suivant:

"Soit f la fonction définie par f(x)=k*\sqrt{r²-x² } où k et r sont deux réels strictement positifs fixés. Dans un repère orthonormé, on considère la courbe \epsilon définie par la réunion des courbes des fonctions f et -f.

1. Déterminer le domaine de définition D _{f } de f.
Soit x \in D_{f} . On considère le point M d'abscisse x et d'ordonnée positive se trouvant sur \epsilon. On appelle N le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses. Enfin, on appelle P le point de coordonnées (r;0). P se trouve donc aussi sur \epsilon .

On considère le triangle MNP et on note g(x) son aire.
2. Faire une figure complète pour le cas k= 1/2 et r=2. On prendra pour unité 2 cm sur chaque axe.
3. Exprimer g(x) en fonction de x.
4. Calculer g'(x) sur D_{f} privé des ses bornes et montrer que g'(x) = k\times \frac{2x²-rx-r²}{\sqrt{r²-x²}}

5. Etudier les variations de g, dresser le tableau de variations complet et déterminer la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle MNP est maximale. Préciser alors pour ce cas les coordonnées de M et N.
6. x est fixé à la valeur trouvée dans la question précédente. Dans le cas où k=1, que peut-on déduire du triangle MNP? Bien justifier."

Pour le moment j'ai fait les questions 1, 2 et 3:
J'ai [-r;r] pour le domaine de définition , et pour g(x) j'ai trouvé ((r-x)\times (2\times (k\times \sqrt{r²-x²})))/2 . Pour la question 4, j'ai abouti à  g'(x)= \huge \frac{(\frac{(r-x)(2k\times -2x)}{2\times \sqrt{r²-x²}}\times 2-4\times k\times \sqrt{r²-x²})}{2}

Je n'ai malheureusement pas réussi à montrer que g'(x) valait k\times \frac{2x²-rx-r²}{\sqrt{r²-x²}} , et pour la question 5, je pense qu'il faut résoudre g'(x) mais je n'y arrive pas, quelqu'un pourrait-il m'indiquer la marche à suivre s'il vous plaît?

Posté par
anoukg
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 20:43

PS: à la place de "erreur de latex" il y a Epsilon

Posté par
carita
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:12

bonsoir

1) oui
3) oui, mais simplifie ta fraction, ça allègera la dérivée

Posté par
hekla
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:15

Bonsoir

Ne serait-ce pas plutôt \Gamma soit \Gamma?

Il faudrait penser à simplifier \dfrac{2}{2}=1


4 )    g'(x)= -k(\sqrt{r^2-x^2})+(r-x)\bigg (\dfrac{-kx}{\sqrt{r^2-x^2}}\bigg)=\dfrac{-k(r^2-x^2)-kx}{\sqrt{r^2-x^2}}

Posté par
hekla
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:17

Bonsoir carita

je vous laisse poursuivre

Quelle plaie les calculatrices, il n'y  plus maintenant de simplification !

Posté par
anoukg
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:22

Je ne vois pas comment simplifier la fraction, il faut développer le numérateur mais je ne vois absolument pas par où commencer...

Posté par
carita
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:23

bonsoir hekla

si vous voulez/pouvez poursuivre, je vous laisse la main.

Posté par
carita
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:27

anoukg, hekla t'a indiqué où faire la simplification :
tu as un facteur 2 au numérateur, et 2 au dénominateur : ils s'éliminent.

Posté par
anoukg
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:29

Je n'arrive pas à simplifier g(x), donc je vais me contenter de ce que j'ai trouvé, merci pour vos réponses!

Posté par
carita
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:31

g(x) = \dfrac{2 * f(x) * (r-x)}{2} = f(x) * (r-x) = k \sqrt{(r^2 - x²)} * (r-x)

Posté par
carita
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:32

au numérateur, tu as un produit, donc rien à développer pour pouvoir simplifier,
d'accord?

Posté par
hekla
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:33



\dfrac{(r-x)\times \cancel{2}\times k\times \sqrt{r²-x²}}{\cancel{2}}

DM sur les dérivées de fonctions

Posté par
carita
re : DM sur les dérivées de fonctions 13-09-20 à 21:34

hekla est de retour , je vous laisse poursuivre.
bonne soirée à vous !



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