Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction LogarithmeTopics traitant de Fonction Logarithme [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

DM sur les fonctions logarithmes.

Posté par
matheux14 09-03-21 à 13:57

Bonjour ,

J'ai besoin d'aide pour ce Dm que je n'arrive pas à faire.

Merci d'avance.

Soit la fonction définie sur \R par f(x)=x+\sqrt{x²+1}

1) Démontrer que \forall x\in \R , f(x) > x+|x|

2) Soit la fonction g(x)=\ln (x+\sqrt{x²+1})

a) Démontrer que g est impaire.

b) Dresser le tableau de variation de g.

c) Démontrer que g est une bijection.

d) Démontrer que la bijection réciproque \varphi de g est dérivable en 0 et calculer \varphi '(0).

e) Démontrer que \forall x\in \Q , \varphi(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}.

Réponses

1) \forall x\in \R , f(x)-(x+|x|)=x+\sqrt{x²+1}-x-|x|=\sqrt{x²+1}-|x|

\sqrt{x²+1}-|x|=0 \iff \sqrt{x²+1}=|x| \iff x²+1=x \iff x²-x+1=0

∆=-3

Donc \forall x\in \R , x²-x+1>0

Donc f(x)-(x+|x|)>0 \iff f(x)> x+|x|

2-a) \forall x\in \R , g(-x)=\ln (-x+\sqrt{(-x)²+1})=\ln (-x+\sqrt{x²+1})

Je n'arrive pas à transformer cette expression..

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 14:00

Bonjour matheux14

va au plus court !
x²+1 > x²
etc.

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 14:17

D'accord.

2-b) La fonction g est définie sur \R donc dérivable sur \R.

\forall x\in \R , g'(x)=[\ln (x+\sqrt{x²+1})]'=\dfrac{(x+\sqrt{x²+1})'}{x+\sqrt{x²+1}}=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}}}{x+\sqrt{x²+1}}=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}}}{g(x)}

\forall x\in \R , g(x)>0.

Donc le signe de g'(x) est celui de 1+\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}}

1+\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}}=0 \iff x=-\sqrt{x²+1}

\iff x²=x²+1 impossible.

Donc \forall x\in \R 1+\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}} >0

D'où \forall x\in \R , ~~g'(x)>0

Par conséquent g est strictement croissante sur \R.

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 14:30

hum...tu "décodes" mal ton énoncé
2a) g impaire (ça reste à faire)
2b) variations de g
donc je n'étudierai le signe de la dérivée que sur R+, ce qui m'arrangera bien, car au premier coup d'oeil on aura son signe sans aucune étude particulière, et sans démonstration oiseuse

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 14:31

La question 2-a) J'ai vu.

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 14:45

La dernière question , je fais comment ?

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 17:29

Pour la dernière, intéresse toi un peu à \phi \circ g

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 10-03-21 à 07:52

Bonjour ,

J'ai voulu résoudre l'équation g(x)= y

\ln(f(x)=y \iff \ln(x+\sqrt{x²+1})=y

\iff \ln(x+\sqrt{x²+1})=\ln(e^{y})

\iff \sqrt{x²+1}=e^{y}-x

\iff x²+1=(e^{y})²-2e^{y}x+x²

\iff (e^{y})²-2e^{y}x-1=0

Et là je ne m'en sors plus , discriminant touffu

Posté par
PLSVUre : DM sur les fonctions logarithmes. 10-03-21 à 08:09

Bonjour,
\iff (e^{y})²-2e^{y}x=1
mets e^y  en facteur,   e^y≠0

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 10-03-21 à 20:05

\large{(e^{y})²-2e^{y}x-1=0 \iff e^{y}(e^{y}-2x)-1=0}

\large{\iff e^{y}=\dfrac{1}{e^{y}-2x}}

Posté par
PLSVUre : DM sur les fonctions logarithmes. 10-03-21 à 20:56

1=e^0

\large{(e^{y})²-2e^{y}x-1=0 \iff e^{y}(e^{y}-2x-e^{-y})=0}


l'indication de malou ,  que  je salue , permet   de    répondre  très rapidement à la question

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 10-03-21 à 21:53

Comment on fait ?

Posté par
PLSVUre : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 00:01


on te donne l'expression de \phi    et tu connais celle de g
que vaut \phi \circ g?

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 06:40

\large{[\varphi \circ g](x)=\varphi(x)=\dfrac{e^{\ln (x+\sqrt{x²+1})}-e^{-\ln (x+\sqrt{x²+1})}}{2}}

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 06:44

Citation :
\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{e^{\ln (x+\sqrt{x²+1})}-e^{-\ln (x+\sqrt{x²+1})}}{2}}

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 06:46

Citation :
\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{e^{\ln (x+\sqrt{x²+1})}-e^{-\ln (x+\sqrt{x²+1})}}{2}}

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 10:07

coucou PLSVU, merci d'avoir pris le relais et je vais disparaître à nouveau

matheux14, vas-y, continue...aie confiance ! simplifie l'écriture de tes exponentielles !

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 16:07

\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{e^{\ln (x+\sqrt{x²+1})}-e^{\ln (\sqrt{x²+1}-x)}}{2}} car g(-x)=-g(x).

\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{ (x+\sqrt{x²+1})-(\sqrt{x²+1}-x)}{2}}

\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{ x+\sqrt{x²+1}-\sqrt{x²+1}+x}{2}}

\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{2x}{2}}=x

\Rightarrow \large{[\varphi \circ g](x)=[g^{-1} \circ g](x)=x

\Rightarrow g^{-1}(x)=\varphi(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 16:36

disons que comme tu sais que g est une bijection, et que
\varphi \circ g= Id
c'est que \varphi=g^{-1}

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 16:56

Merci

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 12-03-21 à 08:25

de rien, bon courage pour les dernières semaines

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 29-10-21 à 16:57

Bonsoir, f g \circ \varphi \neq  \varphi \circ g   et en fait \varphi(x) = \text{sinh}(x) et g(x) = \text{argsh}(x)

DM sur les fonctions logarithmes.


Rechercher
Menu
Espace membre
41 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1719 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !