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DM sur les fonctions logarithmes.

Posté par
matheux14 09-03-21 à 13:57

Bonjour ,

J'ai besoin d'aide pour ce Dm que je n'arrive pas à faire.

Merci d'avance.

Soit la fonction définie sur \R par f(x)=x+\sqrt{x²+1}

1) Démontrer que \forall x\in \R , f(x) > x+|x|

2) Soit la fonction g(x)=\ln (x+\sqrt{x²+1})

a) Démontrer que g est impaire.

b) Dresser le tableau de variation de g.

c) Démontrer que g est une bijection.

d) Démontrer que la bijection réciproque \varphi de g est dérivable en 0 et calculer \varphi '(0).

e) Démontrer que \forall x\in \Q , \varphi(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}.

Réponses

1) \forall x\in \R , f(x)-(x+|x|)=x+\sqrt{x²+1}-x-|x|=\sqrt{x²+1}-|x|

\sqrt{x²+1}-|x|=0 \iff \sqrt{x²+1}=|x| \iff x²+1=x \iff x²-x+1=0

∆=-3

Donc \forall x\in \R , x²-x+1>0

Donc f(x)-(x+|x|)>0 \iff f(x)> x+|x|

2-a) \forall x\in \R , g(-x)=\ln (-x+\sqrt{(-x)²+1})=\ln (-x+\sqrt{x²+1})

Je n'arrive pas à transformer cette expression..

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 14:00

Bonjour matheux14

va au plus court !
x²+1 > x²
etc.

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 14:17

D'accord.

2-b) La fonction g est définie sur \R donc dérivable sur \R.

\forall x\in \R , g'(x)=[\ln (x+\sqrt{x²+1})]'=\dfrac{(x+\sqrt{x²+1})'}{x+\sqrt{x²+1}}=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}}}{x+\sqrt{x²+1}}=\dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}}}{g(x)}

\forall x\in \R , g(x)>0.

Donc le signe de g'(x) est celui de 1+\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}}

1+\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}}=0 \iff x=-\sqrt{x²+1}

\iff x²=x²+1 impossible.

Donc \forall x\in \R 1+\dfrac{x}{\sqrt{x²+1}} >0

D'où \forall x\in \R , ~~g'(x)>0

Par conséquent g est strictement croissante sur \R.

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 14:30

hum...tu "décodes" mal ton énoncé
2a) g impaire (ça reste à faire)
2b) variations de g
donc je n'étudierai le signe de la dérivée que sur R+, ce qui m'arrangera bien, car au premier coup d'oeil on aura son signe sans aucune étude particulière, et sans démonstration oiseuse

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 14:31

La question 2-a) J'ai vu.

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 14:45

La dernière question , je fais comment ?

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 09-03-21 à 17:29

Pour la dernière, intéresse toi un peu à \phi \circ g

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 10-03-21 à 07:52

Bonjour ,

J'ai voulu résoudre l'équation g(x)= y

\ln(f(x)=y \iff \ln(x+\sqrt{x²+1})=y

\iff \ln(x+\sqrt{x²+1})=\ln(e^{y})

\iff \sqrt{x²+1}=e^{y}-x

\iff x²+1=(e^{y})²-2e^{y}x+x²

\iff (e^{y})²-2e^{y}x-1=0

Et là je ne m'en sors plus , discriminant touffu

Posté par
PLSVUre : DM sur les fonctions logarithmes. 10-03-21 à 08:09

Bonjour,
\iff (e^{y})²-2e^{y}x=1
mets e^y  en facteur,   e^y≠0

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 10-03-21 à 20:05

\large{(e^{y})²-2e^{y}x-1=0 \iff e^{y}(e^{y}-2x)-1=0}

\large{\iff e^{y}=\dfrac{1}{e^{y}-2x}}

Posté par
PLSVUre : DM sur les fonctions logarithmes. 10-03-21 à 20:56

1=e^0

\large{(e^{y})²-2e^{y}x-1=0 \iff e^{y}(e^{y}-2x-e^{-y})=0}


l'indication de malou ,  que  je salue , permet   de    répondre  très rapidement à la question

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 10-03-21 à 21:53

Comment on fait ?

Posté par
PLSVUre : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 00:01


on te donne l'expression de \phi    et tu connais celle de g
que vaut \phi \circ g?

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 06:40

\large{[\varphi \circ g](x)=\varphi(x)=\dfrac{e^{\ln (x+\sqrt{x²+1})}-e^{-\ln (x+\sqrt{x²+1})}}{2}}

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 06:44

Citation :
\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{e^{\ln (x+\sqrt{x²+1})}-e^{-\ln (x+\sqrt{x²+1})}}{2}}

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 06:46

Citation :
\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{e^{\ln (x+\sqrt{x²+1})}-e^{-\ln (x+\sqrt{x²+1})}}{2}}

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 10:07

coucou PLSVU, merci d'avoir pris le relais et je vais disparaître à nouveau

matheux14, vas-y, continue...aie confiance ! simplifie l'écriture de tes exponentielles !

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 16:07

\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{e^{\ln (x+\sqrt{x²+1})}-e^{\ln (\sqrt{x²+1}-x)}}{2}} car g(-x)=-g(x).

\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{ (x+\sqrt{x²+1})-(\sqrt{x²+1}-x)}{2}}

\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{ x+\sqrt{x²+1}-\sqrt{x²+1}+x}{2}}

\large{[\varphi \circ g](x)=\dfrac{2x}{2}}=x

\Rightarrow \large{[\varphi \circ g](x)=[g^{-1} \circ g](x)=x

\Rightarrow g^{-1}(x)=\varphi(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 16:36

disons que comme tu sais que g est une bijection, et que
\varphi \circ g= Id
c'est que \varphi=g^{-1}

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 11-03-21 à 16:56

Merci

Posté par
malou Webmasterre : DM sur les fonctions logarithmes. 12-03-21 à 08:25

de rien, bon courage pour les dernières semaines

Posté par
matheux14re : DM sur les fonctions logarithmes. 29-10-21 à 16:57

Bonsoir, f g \circ \varphi \neq  \varphi \circ g   et en fait \varphi(x) = \text{sinh}(x) et g(x) = \text{argsh}(x)

DM sur les fonctions logarithmes.


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