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Dm sur les matrices
Soit a un réel
Deux suites Un et Vn telles que Uo=2 et Vo=1 pour tout n>1
Un=aUn-1 + Vn-1. Et Vn=aVn-1.
1) identifier la matrice A telle que pour tout n
1
Un=A(Un-1)
Vn. Vn-1
Démontrer par récurrence que Un=An-1(U1)
Vn. V1
2) calculer les matrices A2, A3, A4 et A5
3) émettre une conjecture sur l'expression des éléments de la matrice An pour tout entier n1 puis démontrer cette conjecture.
4) déduire des questions précédentes les expressions respectives de Un et Vn en fonction de n.
Je n'y arrive pas du tout et je bloque des la première question il m'est donc impossible de passer aux suivantes, merci d'avance pour votre aide.
essaie d'écrire une matrice A avec 4 coefficients inconnus x,y,z,t et ecris Un et Vn en fonction de Un-1 et Vn-1
tu trouveras ainsi les valeurs de x,y,z,t en fonction de a
Comment veux tu que j'écrive Vn et Un en fonction de Vn-1 et Un-1 alors que j'ai pas Un-1 et Vn-1 ? :/
si tu as par ex y=2x+3 c'est une expression de y "en fonction" de x tu n'as pas besoin de connaitre x
Oui, je viens de voir que c'est moi qui a mal lu désolé.
Mais après pour la récurrence je trouve A=(a 1
0 a)
et je sais pas comment faire An-1
si tu calcules A² tu trouves:
1°ligne a² 2a
2°ligne 0 a²
pour A³
1° ligne a³ 3a²
2° ligne 0 a³
calcule A^4 et A^5 comme on te le demande et tu devineras la formule à montrer par récurrence
A2 jusqu'à A5 j'ai déjà fait et je trouve que
An= an nan-1
0 an
Mais la question 1 la récurrence j'arrive toujours pas
tu supposes que An a cette forme
tu multiplies par A et tu vérifies que An+1 est bien de la forme voulue
Non mais ça j'ai trouver, j'ai fait entièrement la question 2 et 3 mais la question 1 quand il s'agit de An-1 je n'arrive pas a la faire
je ne comprends pas ce que tu cherches avec An
on trouve
Un=2an+nan-1 et Vn=an (ce qu'on aurait pu trouver directement puisque vnest géométrique
Oui mais dans la question il y a marqueé que je dois
Démontrer par récurrence que Un=An-1(U1)
Vn. V1
la propriété est vraie pour n=1
si elle est vraie pour n
(UnVn)=An-1(U1V1)
(Un+1Vn+1)=A(UnVn)=A*An-1(U1V1)=An(U1V1)
elle est vraie pour n+1
N.B j'écris (UnVn) au lieu de la colonne car c'est plus facile
An= an nan-1
0 an
Tu appliques cette matrice au vecteur (2,1)
Tu obtiens que vn égale a puissance n
et
vn = 2an + nan-1 = (2a+n)an-1
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