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DM sur les suites
Bonjour, j'ai un devoir à faire pour la semaine prochaine, je bloque sur certaines choses. Merci de m'aider !
On considère la suite Un définie par U0=1 et, pour tout entier naturel n, Un+1= (1/4)Un +3
I) on considère la fonction f définie sur (0;+oo) par f(x)=(1/4x)+3
a) tracer dans un même repère orthonormal d'unité 2cm la représentation graphique D de la fonction f et la droite G d'équation y=x
FAIT
b) calculer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites
FAIT --> (4;4) car (1/4)x+3=x
x=4=y
c) en faisant apparaître le mode de construction, utiliser ce graphique pour représenter U1, U2 et U3 sur l'axe des abscisses.
JE BLOQUE...
d) quels semblent être le sens de variation et la limite de la suite Un
PAREIL
II) soit la suite Vn définie pour tout entier naturel n par Vn=Un+1-Un
a) montrer que pour tout entier naturel n, Vn+1=1/4Vn
FAIT : Vn+1=Un+2-Un
=1/4(Un+1-Un)
Vn+1=(1/4)Vn
--> suite géométrique
V0=U1-U0 car U1=13/4 (par calcul)
= 9/4
b) quelle est la nature de la suite Vn. Pré ciser son premier terme Vo
FAIT : Vn=V0*q^n
Vn=9/4 * (1/4)^n
c) exprimer Vn en fonction de n
FAIT : Vn=(1/4)Un+3-Un
=-(3/4)Un+3
d) exprimer Un en fonction de termes de la suite Vn et en déduire que pour tout entier naturel n, Un= -3*((1/4)^n)+4
JE BLOQUE...
e) déterminer le sens de variation de la suite Un
PAREIL
f) déterminer la limite de la suite Un
PAREIL
MERCI encore !
Bonjour, l'idée c'est de se servir de la droite y=x pour ramener les valeurs de l'axe des y à l'axe des x pour pouvoir poursuivre la récurrence. On rebondit comme ça un coup sur la droite y=x/4+3 et un coup sur y=x et à chaque segment vertical on voit un terme de la suite. Et comme ça on la voit converger (vers 4 comme tu l'as trouvé).
Oh je vois ! Si je comprend bien, u1 correspond au point A ?
Cela voudrait donc dire que la courbe est croissante et que sa limite sur + l'infini est 4 ?
Pardon, je voulais dire, la suite Un est croissante, et non la courbe.
Pour la suite de l'exercice, auriez-vous une idée ?
Merci encore !
oui u1 correspond à A; Un est croissante et tend vers 4.
Si Vn=-(3/4)Un+3 alors Un=-(4/3)(Vn-3) et tu n'as plus qu'à remplacer Vn par ce que tu as trouvé pour trouver Un.
Donc Un = -(4/3)Vn+4
= -4/3 * (9/4 * 1/4^n) +4
Un = -3 *(1/4)^n +4
C'est bon !
Pour le sens de variation de (Un), je n'ai aucune idée par contre. Ni pour sa limite.
d) ?
e) ?
Désolée
oui et donc le terme -3/4n tend vers 0 et Un tend bien vers 4
Un vaut 4 moins quelque chose de positif et de plus en plus petit. Donc Un est croissant. Mais tu peux aussi faire Un+1-Un et montrer que c'est positif si tu trouves l'explication un peu rapide.
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