Bonjour.
Peux-tu vérifier ton énoncé pour la définition de u_n et de v_n ?
Cordialement RR.

salut
pour ton exo1 il y a une erreure dans la définition de un et de vn  

désolé :

(Un) est définie par U0=3 ; Un+1=(-1/4)Un + 5 et (Vn) est définie pour tout naturel n par Vn= Un - 4.

désolé , je ne savais pas comment réctifier mon post alors j'en ai créer un autre

exercice 1:

(Un) est définie par U0=3 ; Un+1=(-1/4)Un + 5 et (Vn) est définie pour tout naturel n par Vn= Un - 4.

1)Conjecturez graphiquement le comportement de la suite (Un).

2)Prouvez que la suite (Vn) est géométrique.

3)Exprimez Vn, puis Un, en fonction de n.

4)Etudiez les variations de (Vn), puis déduisez-en celles de (Un).

5.a)Quelle est la limite de (Vn)?
  b)Déduisez-en celle de (Un).

______________________________________________________________________

1) je ne comprend pas, pouvez vous m'aider ?

2) je trouve que V_n est une suite géométrique de raison -1/4
   V_n+1 = (-1/4)V_n

3) je trouve V_n = -1 x (-1/4)^n
             U_n = -4 - (-1/4)^n

4) je trouve que V_n est une suite décroissante car sa raison < 0
   mais comment faire pour U_n ?

5)je n'y arrive pas . merci de bien vouloir m'aider

__________________________________________________________________

Exercice 2:

(Un) est la suite définie par U0=1, U1=2 et pour tout naturel n,

Un+2=1,5Un-0,5Un.

1a)démontrez que la suite (Vn) définie par Vn=Un+1-Un est une

suite géométrique.

b)Exprimer Vn en fonction de n.

2a)Exprimez Un en fonction de n.

b)Quelle est la limite de la suite (Un) ?

3)déterminez le plus petit entier p tel que :
|Un-3|<10-5 pour tout entier n >= p.

je n'arrive pas à partir de la question 2)a
merci de bien vouloir m'aider

*** message déplacé ***

Rebonjour.
Ce que tu écris est plus conforme à ce que tu as trouvé : c'est rassurant !
1°) Dessine dans un même repère les droites : . Elles se coupent au point L(4,4). En partant du point M₀(3,0), une verticale rencontre (D) en M₁. Une horizontale passant par M₁ coupe (D') en M₂. Une verticale passant par M₂ coupe (D) en M₃... Tu as dû voir cela en cours : un enroulement en "escargot" autour de L(4,4). On peut donc conjecturer que la suite (u_n) converge vers 4.
2°) Oui
3°) .
4°) : le signe dépend de n. La suite (v_n) n'est pas monotone : (v_2p) est croissante et (v_2p+1) est décroissante. Naturellement, il en est de même pour (u_n) car u_n+1 - u_n = v_n+1 - v_n. D'ailleurs, "l'escargot" montre bien ce phénomène.
5°) Toute suite géométrique de raison q telle que |q| < 1 converge vers 0. Comme ici q = -1/4 on peut appliquer cette règle : (v_n) converge vers 0 et (u_n) converge donc vers 4.
Cordialement RR.

mince, je vois qu'il y a beaucoup d'erreur ,
enfaite j'ai copier un énnoncé que j'ai trouvé mais enfaite ce n'est pas exactement le même. Je vous remet le bon ennoncé et encore merci

exercice1:

(Un) est définie par U0=3 ; Un+1=(-1/4)Un + 5 et (Vn) est définie pour tout naturel n par Vn= Un - 4.

1)Conjecturez graphiquement le comportement de la suite (Un).

2)Prouvez que la suite (Vn) est géométrique.

3)Exprimez Vn, puis Un, en fonction de n.

4)a) Prouvez que si n est pair, Vn est négatif, et que si n est impair, Vn est positif
  b)Déduisez-en que (Un) n'est pas monotone

5.a)Quelle est la limite de (Vn)?
  b)Déduisez-en celle de (Un).
_____________________________________________________________________

1) je ne comprend pas, pouvez vous m'aider ?

2) je trouve que V_n est une suite géométrique de raison -1/4
   V_n+1 = (-1/4)V_n

3) je trouve V_n = -1 x (-1/4)^n
             U_n = -4 - (-1/4)^n

4) je trouve que V_n est une suite décroissante car sa raison < 0

5) je n'y arrive pas . merci de bien vouloir m'aider

__________________________________________________________________

Exercice 2:

(Un) est la suite définie par U0=1, U1=2 et pour tout naturel n,

Un+2=1,5Un-0,5Un.

1a)démontrez que la suite (Vn) éfinie par Vn=Un+1-Un est une

suite géométrique.

b)Exprimer Vn en fonction de n.

2a)Exprimez Un en fonction de n.

b)Quelle est la limite de la suite (Un) ?

3)déterminez le plus petit entier p tel que :
|Un-3|<10-5 pour tout entier np.

je n'arrive pas à partir de la question 2)a
merci de bien vouloir m'aider

Regarde mon post un peu plus haut, il répond à ton premier exercice.
Cordialement RR.

oui mai la question 4 a changé,
comment je peu faire pour montré ceci

LIS MON POST UN PEU PLUS HAUT ...

(v2p) est croissante et (v2p+1) est décroissante. Naturellement, il en est de même pour (un) car un+1 - un = vn+1 - vn. D'ailleurs, "l'escargot" montre bien ce phénomène.

encore désolé mais je ne comprend pas:
- v2p ?
- pourquoi un+1 - un = vn+1 - vn

et peux-tu m'aider pour l'exercice 2 stp ?

je te remercie d'avance

Il n'y a pas une erreur dans ton énoncé exo 2 ?
Ce ne serait pas plutôt u(n+2)=1.5u(n+1)-0.5u(n)

*** message déplacé ***

si tu as raison désolé

*** message déplacé ***

j'ai tellement du mal ...
c'est mon dernier DM et si je compte passé en Terminal S
il faut que je réussisse ce DM ainsi que mon control ...

pour l'exercice 2 :

u(n+2)=1.5u(n+1)-0.5u(n)

As-tu fait le dessin ? Tu vois que les termes de rang pair : u₀, u₂,... sont croissants, alors que ceux de rang impair u₁, u₃, ... sont décroissants. Dans mon précédent post, j'ai trouvé que :
. Donc, si n est pair : n = 2p, cette différence est positive : la suite des termes de rang pair : v₀, v₂, v₄, ... , v_2p, ... est croissante.
Par contre, si n est impair : n = 2p+1, cette différence est négative et la suite des termes de rang impair v₁, v₃, ..., v_2p+1, ... est décroissante.
As tu remarqué que : v_n = u_n - 4 ?
Donc si tu calcules v_n+1 - v_n, tu trouves u_n+1 - u_n. C'est pour cela que c'est la même conclusion pour la suite (u_n).
L'exercice 2 est en route.

tout à fait , je trouve les même résultats que toi
encore merci

Exercice 2.
1°) a. v_n+1 = u_n+2 - u_n = 1,5(u_n+1 - u_n).
Donc : v_n+1 = 1,5v_n suite géométrique de raison 1,5 et de premier terme :
v₀ = u₁ - u₀ = 1.
1°) b. Donc v_n = (1,5)ⁿ.
2°) a. u_n - u_n-1 = (1,5)^n-1 (puisque u_n+1 - u_n = v_n).
Ajoutons : (u_n - u_n-1) + (u_n-1 - u_n-2) + ... + (u₁ - u₀) = u_n - u₀ = 1+1,5 + (1,5)² + ... + (1,5)^n-1.
Cette dernière somme est bien connue : somme des termes d'une suite géométrique. Comme u₀ = 1, :
.
Donc :.
2°) b. Comme 1,5 > 1, .
Avec ce que j'ai trouvé, la dernière question n'a pas de sens. Es-tu sûr de l'énoncé du deuxième exercice ?
Cordialement RR.

(Un) est la suite définie par U0=1, U1=2 et pour tout naturel n,

u(n+2)=1.5U(n+1)-0.5Un

1a)démontrez que la suite (Vn) définie par Vn= Un+1-Un est une
   suite géométrique.

  b)Exprimez Vn en fonction de n.

2a)Exprimez Un en fonction de n.

b)Quelle est la limite de la suite (Un) ?

3)déterminez le plus petit entier p tel que :
|Un-3|<10^-5 pour tout entier np


et encore désolé ...

heuu pour l'exercice 2 je trouve
je trouve que la raison de Vn est 0.5 et non 1.5 ...
tu t'es trompé ou c'est moi ?

je suis désolé de te prendre aussi beaucoup de temps
mai je comprend pas pourquoi tu as fai ça :

Ajoutons : (un - un-1) + (un-1 - un-2) + ... + (u1 - u0) = un - u0 = 1+1,5 + (1,5)^2 + ... + (1,5)^n-1.

Bonjour

Tu ne remarques rien en faisant un - un-1) + (un-1 - un-2) + ... + (u1 - u0) ?
Tous les termes se simplifient sauf 2 qui restent .

Joelz

Oui mais pourquoi :  un - u0 = 1+1,5 + (1,5)^2 + ... + (1,5)^n-1. ?

Désolé, c'est toi qui as raison : j'avais mal interprété ton énoncé initial car il y avait une erreur dans les indices.
Partout où figure 1,5 dans mes réponses, tu remplaces par 0,5
Pour 2°) a.
Pour 2°) b. comme 0,5 < 1, la limite de (0,5)ⁿ est 0, donc la limite de u_n est 3.
Cette fois la dernière question a un sens : elle signifie, trouver le plus petit entier p tel que : 2(0,5)^p < 10^-5. Elle correspond à :
2^p-1 > 10⁵. A la calculette cherches les puissances de 2, jusqu'à ce que tu dépasses 100 000. (2¹⁷ = 131 072).
Cordialement RR.

merci mais pour la 2°)a) peu tu m'expliquer pourquoi

un - u0 = 1+0.5 + (0.5)^2 + ... + (0.5)^n-1. ?

On sait que :

(un - un-1) + (un-1 - un-2) + ... + (u1 - u0) = un - u0

Or


....

donc (un - un-1) + (un-1 - un-2) + ... + (u1 - u0)=

Or (un - un-1) + (un-1 - un-2) + ... + (u1 - u0) = un - u0
d'où un-u0=....

Sauf erreur

Joelz

ohlala les math c'est trop dure pour moi ?
je comprend pas ton raisonnement Joelz désolé ...

Et bien tu calcules un - un-1 sachant que
donc on a:


De meme avec un-1 - un-2, ..., u1 - u0
et en additionnant le tout tu as:
(un - un-1) + (un-1 - un-2) + ... + (u1 - u0)=

Or (un - un-1) + (un-1 - un-2) + ... + (u1 - u0) = un - u0
donc un - u0 = =

Sauf erreur de ma part

Joelz

et comment tu trouves :

J'ai repris le résulat de raymond

Oui mais Raymond a trouver ce résultat en utilisant:
(un - un-1) + (un-1 - un-2) + ... + (u1 - u0)=

et toi tu remplace Un par la valeur qu'a trouvé raymond et c'est ça que j'essaie de comprendre

Comment ça?

Pour trouver Un=3-2(0.5)^n c'et bien plus haut qu'on la déterminer.

Ensuite pour calculer un-u0, on utilise la fait que :
(un - un-1) + (un-1 - un-2) + ... + (u1 - u0)=un-u0

Or un=3-2(0.5)^n et en calculant tous les un - un-1, un-1 - un-2, ....,u1 - u0, on a donc en additionnant le tout:
(un - un-1) + (un-1 - un-2) + ... + (u1 - u0)=2(0.5)^n+2(0.5)^(n-1)+...+2

et donc un-u0=2(0.5)^n+2(0.5)^(n-1)+...+2

Sauf erreur

bon allons droit au but parceque soit c'est moi qui voit pas ce que tu veux dire soit c'est toi ^^

montre moi comment tu calcules Un stp

Ah d'accord
Je vois ce que tu veux dire

On trouve pour Vn:
Vn=V0*0.5ⁿ avec V0=1
donc Vn=0.5ⁿ

Or Vn=Un+1-Un
donc

Or
donc

De plus

donc

Sauf erreur

WOW
j'abandonne si les math c'est comme ça
hahahahah
c'est beaucoup trop compliqué là, c'est un nouveau théorème ?
j'ai jamais vu ça !

Non c'est juste le calcul de Un

Le symbole veut dire "somme"

Par exemple

Sans les symboles, on a en additonnant les Vn :

V0+V1+...+Vn-1 =0.5^0+0.5¹+....+0.5^n-1
Dans ton cours tu as une formule qui te donne cette somme car c'est la somme des termes d'une suite geometrique et on a :
V0+V1+...+Vn-1 = 2(1-0.5ⁿ)

De plus on remarque que :
(U1-U0)+...+(Un-Un-1)=Un-U0

donc comme V0+V1+...+Vn-1 = (U1-U0)+...+(Un-Un-1)
alors Un-U0=2(1-0.5ⁿ)

Et la tu vois mieux sans les symboles ?

Ahhhh
Merci beaucoup , c'est beaucoup plus clair

heuu juste une question :
Vn = V0+V1+...+Vn-1  ?

Non c'est faux
car Vn=0.5ⁿ
et V0+V1+...+Vn-1=2(1-0.5ⁿ)

Sauf erreur

j'abandonne le topic est trop long je mi retrouve plus
je sais toujours pas comment calculer Un
et pourquoi
V0+V1+...+Vn-1 = (U1-U0)+...+(Un-Un-1)

Tu as V0+V1+...+Vn-1 = (U1-U0)+...+(Un-Un-1) car Vn=Un+1 - Un (c'est la définition de Vn )

(Un) est la suite définie par U0=1, U1=2 et pour tout naturel n,
u(n+2)=1.5U(n+1)-0.5Un

1a)démontrez que la suite (Vn) définie par Vn= Un+1-Un est une
   suite géométrique.

  b)Exprimez Vn en fonction de n.

2a)Exprimez Un en fonction de n.

b)Quelle est la limite de la suite (Un) ?

3)déterminez le plus petit entier p tel que :
|Un-3|<10^-5 pour tout entier np

il m'est impossible de résoudre la question 2)a) ainsi que les autres.
quelqu'un pourrait-il m'aider ?

*** message déplacé ***

Bonsoir Nathalie

Ce topic a déjà été posé ici :
Dm sur les suites

Joelz


*** message déplacé ***

Merci.
je vois qu'il y a beaucoup de lecture et beaucoup de réctification.
quelqu'un aurait l'aimabilité de résumé ?

je commence un peu a comprendre Joelz ^^

Bonsoir

On a:
1.


donc Vn est geometrique de raison 0.5 et de 1er terme V0=U1-U0=1
donc

2.
Pour avoir un relie mon post de  22:20

joelz,
(U1-U0)+...+(Un-Un-1)=Un-U0   je peux le poser comme ça ,
je dois appliqué un theorème ou le démontrer ?

C'est bon signe DikSa13
Oui je pense que tu peux l'écrire comme ça directement. Il n'y a pas de theoreme qui le dit mais sinon tu peux écrire plus de termes et bien montrer qu'il se simplifient tous sauf 2

On a donc vu que:


donc Un -> U_0 + 2  car 0.5 < 1 et 0.5^n -> 0

Pour la dernière, on a:
Un-3 < 10^-5
=> 1+2(1-0.5^n) +2 <  10^-5
=> 2*0.5^n > 5-10^-5
=> 0.5^n > (5-10^-5)/2

Il faut tester plusieurs valeurs de n et trouver le plus petit n qui verifie cette inégalité

Voila sauf erreur de ma part

Joelz