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DM sur les suites récurrentes
Bonjour !
J'ai besoin d'une aide pour un DM de maths s'il vous plaît. Ce qui me pose le plus problème c'est la rédaction et je ne sais pas si mes réponses sont justes. Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?
Voici l'énoncé:
(Un) est la suite définie par Uo = 1 et Un+1 = (Un+1)/(Un+3) pour tout n non nul.
1) Démontrez que pour tout n , 0
Un1
2) Prouvez que la suite est strictement décroissante.
3) Que devient le résultat du 2) si Uo = 0 (au lieu de Uo = 1) ?
NB: aux questions 1) et 2) vous utiliserez un raisonnement par récurrence. On pourra utiliser au 2) une fonction f à déterminer.
La rédaction de ma réponse pour la question 1) n'est pas terrible.Et puis je trouve que la suite est croissante au lieu d'être décroissante.
J'ai besoin d'aide !
Merci d'avance
édit Océane
Pour le 1) j'ai mis:
On démontre par récurrence: Pn: 0Un1
a) On a Po: Uo=1
Alors Po: 011 donc Po est vraie.
b) si pour un entier n donné Pn est vraie, alors montrons que Pn+1 est vraie aussi :
soit Pn: 0Un1
f(0)f(Un)f(1)
01/3 Un+11/2 1
donc Un+1
[o;1] soit 0Un1
conclusion: Pn est vraie pour tout n c'est à dire 0Un1
NB: j'ai fait intervenir f parce qu'au 2) on nous demande d'utiliser une fonction f à determiner alors je pensais que je pouvais utiliser f pour le 1).
C'est bon ou pas?
Pour moi c'est correct, a condition d'avoir fait une étude complète de la fonction f sur [0,1].
Tu me montre l'étude ?
K.
J'ai mis
f: x
f(x)= (x+1)/(x+3) Df=
=Df'
f'(x)= [(x+3)+(x+1)]/ (x+3)² = (2x+4)/ (x+3)² 
0
justement c'est là mon problème la suite f est croissante et non pas décroissante comme l'énoncé le demande.
comment je fais?
Attention,
ton ensemble de définition est faux deja. il faut que le dénominateur soit différent de 0. Tu te souviens de ca ? C'était en seconde.
K.
oui
c'est Df=/-3
privé de -3
c'est bon maintenant?
Ok(c'était important),
maintenant la dérivée : je trouve f'(x)=2/(x+3)². tu me détail tes calculs ?
K.
on utilise la formule (u'v-uv')/v²
et donc u(x)= x+1 donc u'(x)= 1
v(x)= x+3 donc v'(x)= 1
alors f'(x) = (x+3)-(x+1)/(x+3)²= 2/(x+3)²
oups je me suis trompée sur le signe
dans ce cas-là la suite est décroissante car si l'on prenait par exemple:2/(x+3)²
pour x=0 on a un résultat égal à 2/9
et pour x=-4 on a un résultat égal à 2
or 0>-4 donc la suite est décroissante, non?
mais comment on démontre que la suite est décroissante par récurrence?
on a f'>0 donc f est croissante
mais je comprends pas car on doit montrer que c'est strictement décroissant
je suis bloquée...
s'il vous plait pouvez vous m'aider?
je m'embrouille...
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