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Dm TS, Les suites

Posté par
luna20
13-09-17 à 16:41

Énoncé :
On considère la suite (Sn) définie par S0=1+(1/2) et pour tout entier naturel n non nul : Sn= (1/(2^n)+1)+(1/(2^n)+2)+...+(1/(2^n)+((2^n)-1))+(1/(2^n)+(2^n))
1.Exprimer S1 et S2 sous forme de sommes.

2.a) Dire, sans justifier, le nombre de termes que comporte la somme Sn.
b) Montrer que chacun des termes de la somme Sn est supérieur à 1/(2^n+1).
c) En déduire que Sn >= 1/2.

3.On définit la suite (Un) pour tout entier naturel n non nul par Un=1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n).
Exprimer la somme S0+S1+...+Sn en fonction d'un termes de la suite (Un).

J'ai pensé pour la 1.
S1=(1/(2^1)+1)+(1/(2^1)+2)+...+(1/(2^1)+((2^n)-1)+(1/(2^1)+(2^1)
S2=(1/(2^2)+1)+(1/(2^2)+2)+...+(1/(2^2)+((2^2)-1)+(1/(2^2)+(2^2))
Mais je ne suis pas sure.... Cette suite me paraît bizarre avec les deux derniers termes de la suite

Pouvez m'aider svp

Posté par
Zormuche
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 16:51

Bonjour

Connais-tu le symbole de la somme avec le grand signe "Sigma"

Posté par
Zormuche
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 16:53

Oups erreur de ma part

Tes expressions S1 et S2 sont correctes, mais tu dois les expliciter entièrement. Que valent 2^1 et 2^2?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 16:57

Bonjour,
ta somme a des termes un peu incohérents, et tes parenthèses un peu fantaisistes.
est-ce que c'est bien :
Sn= 1/(2n +20)+ 1/(2n +21)+...+1/(2n+2n-1)+1/(2n+2n) ?


si oui, S1 n'a qu'un terme puisque n=1 . S = 1/(2^1+1) = 1/3

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 16:59

Oui je connais "Sigma " sinon
S1=(1/2)+(1/3)+...+1+(1/2)
S2=(1/5)+(1/6)+...+(1/7)+(1/8)

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 17:02

Pour le troisième terme c'est( 2 exposant n ) le tout -1

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 17:20

Sn= 1/(2n +20)+ 1/(2n +21)+...+1/(2n+2n-1)+1/(2n+2n)
oui OK

bon donc on a S1 = 1/(2+1)+1/(2+2) = 7/12
et S2 = 1/(2²+1)+1/(2²+2)+1/(2²+3) + 1/(2²+4) = 533/840
c'est ce que tu as mis je crois.

tu passes au 2a) ? c'est pas très dur.

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 17:29

Glapion @ 13-09-2017 à 17:20

Sn=  1/(2n +20)+ 1/(2n +21)+...+1/(2n+( 2n-1))+1/(2n+2n)

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 17:45

c'est pareil !
2n+2n-1 et 2n+( 2n-1) c'est la même chose.

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 17:51

Ah oui effectivement ....
2)a. La somme n comporte n termes

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 17:55

Par contre je reviens à la 1. Pourquoi pour calculer S1 on prend juste les 2 premiers termes et pour S2 on prend les 4 premiers ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 18:11

Si l'écriture est bien Sn= 1/(2n +20)+ 1/(2n +21)+...+1/(2n+2n-1)+1/(2n+2n)

(je comprends que la somme pourrait s'écrire \sum_{k=1}^{2^n}\dfrac{1}{2^n+k} ) il y a donc 2n termes
S1 a donc 2 termes et S2 4 termes.

mais c'est sous réserve que tu confirmes bien l'écriture de la somme.
par exemple s'il n 'y avait pas le terme 1/(2n+2n-1)
on aurait pu penser à la somme \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2^n+2^k} )

mais vu la suite, je suis sûr que c'est bien \sum_{k=1}^{2^n}\dfrac{1}{2^n+k} )

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 18:17

C'est bien cette écriture

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 18:19

Après réflexion je remarque que c'est impossible qu'il y est nous termes mais plutôt n+1 non ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 18:20

Bon donc tu as compris comment on trouve S1 et s2 ? tu passes à la suite ?

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 13-09-17 à 18:21

Oui c'est bon on peut passer à la suite

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 08:48

Pour la 2.b) je pense faire un raisonnement pas récurrence avec
Soit P(n) la propriété S0>(1/2^(2+1))
Le résultat de l'initialisation : S0=3/2 et
(1/2^(0+1))=1/2
Hérédité :
Supposons qu'il existe un réel k tels que P(k) soit vraie c'est à dire Sk>(1/2^(k+1))
Montrons que P(k+1) est vraie c'est à dire que Sk+1 >(1/2^(k+2))
Mais là je suis bloqué j'ai essayé beaucoup de chose mais rien ne marche pour l'instant...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 12:37

c'est beaucoup plus simple que ça.
Dans les termes de la somme, \dfrac{1}{2^n+k} le plus petit est celui qui a le dénominateur le plus grand donc c'est \dfrac{1}{2^n+2^n} =\dfrac{1}{2^{n+1}}
et tous les termes de la somme sont plus grand ce qui démontre l'inégalité.

Et dans la foulée, puisqu'il y a 2n termes dans la somme et que chaque terme est plus grand que \dfrac{1}{2^{n+1}} , la somme est donc plus grande que \dfrac{2^n}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2}

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 14:38

A ok merci !
Et pour la 2.b. On remplace n par 0  pour (1/2^(n+1)) ce qui donne 1/2 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 14:49

Citation :
Et pour la 2.b. On remplace n par 0 pour (1/2^(n+1)) ce qui donne 1/2 ?

tu as vraiment lu la question ? de quel droit remplacer n par 0 !

et pour info je t'ai donné la solution dans mon post précédent

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 14:51

Pour la 3. Ducou la somme c'est :  \sum_{k=0}^{2^n}\dfrac{1}{2^n+k} )
mais je ne suis pas sûre car je n'utilise pas un terme de la suite de Un ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 14:58

et ça c'est seulement Sn alors que l'on te demande S0+S1+...+Sn

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 15:05

Pense que
S0 =1/2
S1=1/3+1/4
S2=1/5+1/6+1/7+1/8
---------------------
Sn =1/(2n+1) +........+1/2n+1

Que penser de S0+S1+...+Sn ?

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 17:53

So+ S1 + ...+ Sn est la somme de tout les résultats de S en fonction de n ?

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 18:09

S0 =1+(1/2)
S1=7/12
S2=533/840
S3= 121/272
Sn = \sum_{k=0}^{2^n}\dfrac{1}{2^n+k}

Donc la somme S0+S1+...+Sn = 1+(1/2)+(7/12)+(533/840)+(121/272)+ \sum_{k=0}^{2^n}\dfrac{1}{2^n+k}

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 19:32

non, regarde les lignes où je t'ai écris S0 ; S1; S2
remarque que quand on les ajoute ça donne 1/2+1/3+1/4+..... +1/2n+1
donc pas bien difficile à exprimer en fonction de Un

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 21:06

\sum_{i=0}^{n}Si=\dfrac{1}{U2^n+i} )

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 21:10

Le \{2^n+i est en indice de U est-ce-que mon expression est bonne ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 14-09-17 à 23:23

je te l'ai mis sous la forme 1/2+1/3+1/4+..... +1/2n+1 et tu ne reconnais pas un un ? (au 1 près du début)

= U_{2^{n+1}}-1

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 15-09-17 à 11:36

Et il faut comprendre la finalité de tout ça.
si Un peut s'exprimer en fonction de la somme S0+S1+...+Sn, sachant que chaque terme Sk est plus grand que 1/2, la somme S0+S1+...+Sn tend forcement vers l'infini et donc on vient de démontrer que Un aussi et donc que la somme
1+1/2+1/3+...+1/n (qu'on appelle la suite harmonique) est divergente quand n tend vers l'infini.

Posté par
luna20
re : Dm TS, Les suites 15-09-17 à 13:18

Je ne comprend pas à quoi nous sert la limite pour exprimer la somme...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Dm TS, Les suites 15-09-17 à 13:32

ça sert pas. on ne parle pas de limite dans mon post du 14-09-17 à 23:23.

je t'expliquais juste un truc en plus qui nous permet de déduire la limite de 1+1/2+...+1/n à partir de tout ce qu'on a démontré. ça m'étonne que ton énoncé ne te le demande pas d'ailleurs.

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