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Domaine de définition d'une fonction
Bonjour!
J'ai réalisé un exercice, et je ne pense pas que mes justifications soient bonnes... Pourriez-vous m'aider?
Voici l'énoncé:
"Soit la fonction numérique définie par f(x)= 1/ [1+e(-x)]
1_ Quel est le domaine de définition Df de f?"
Voici ce que j'ai mis:
"La fonction exponentielle est dérivable sur 
(donc continue sur ).
e(-x), e(-2x), e(4x), ... sont aussi dérivables sur .
Ces fonctions sont donc aussi continues et définies sur .
Donc f(x), que l'on peut également écrire ainsi:
f(x)= 1/ [1+e(-x)]= e(0)/[e(0)+e(-x)]= e(0)/[e(0)+e(-x)] * [e(-x)/e(-x)]= [e(-x)/(e(-x)+e(-2x)]
est définie sur car composée de fonctions définies sur .
Donc Df=."
Est-ce qu'on peut justifier le fait qu'une fonction soit définie sur parce qu'elle est composée de fonctions continues sur ?
Est-ce réellement une fonction composée ou simplement un quotient de fonctions? ( ou est-ce la même chose?)
Merci d'avance!
Pourquoi est-ce que tu t'embête à faire toute cette démarche?
Il suffit de dire que l'exponentielle est toujours positif pour n'importe quel , donc aussi pour
..
Ainsi le dénominateur ne s'annule jamais et donc est définie sur
Bonjour
Tu te compliques la vie...
Pas besoin de continuité ou de dérivabilité pour déterminer l'ensemble de définition.
Condition toujours réalisée donc Df = R
Après est continue sur
et
continue sur
Or la composée est continue sur
Donc je ne pense pas que tu puisses conclure enfet
Re bonjour!
Je continue mon exercice, il m'a fallu déterminer les limites de f(x) aux bornes de Df, je trouve:
-en -
: 0
-en + : 1
Ensuite j'ai dû calculé la dérivée et la dérivée seconde de f(x):
-f'(x)=e(-x)/(1+e(-x))²
-f"(x)= [e(-3x)-e(-x)]/[1+e(-x)]^4
Et là je dois montrer que f"(x) a le même signe que e(-x)-1 ...
Ce que j'ai mis:
"[1+e(-x)]^4 est srictement positif donc f"(x) est du signe de [e(-3x)-e(-x)].
-Pour x=0, e(-x)-1=0
-Pour x=0, [e(-3x)-e(-x)]=0"
Est-ce que là il me suffit de calculer chacune de ces expressions pour un x positif et un x négatif pou montrer qu'elles ont le même signe, ou est-ce que je dois calculer leur dérivée?
Merci d'avance..
*** message déplacé ***
édit Océane : continue dans ton topic, merci
D'accord avec toi pour f' et f".
Pour l'étude de signe, tu ne regardes que x=0.
Il faut que tu précises que les deux fonctions comparées sont strictement croissantes. Comme elles s'annulent toutes les deux en x=0, alors là, oui, tu peux dire qu'elles sont de même signe.
*** message déplacé ***
Pour montrer que ces deux fonctions son strictement croissantes, je calcule leur dérivée et je montre qu'elles sont strictement positives sur ?
*** message déplacé ***
Ok, merci beaucoup!
Est-c que je peux te poser une dernière question?
Je trouve un point d'inflexion en x=0, ses coordonnées sont donc (0;f(0))
(0;0,5)(?).
L'équation de la tangente au point d'inflexion est-elle:
y=(1/4)x + 1/2 ?
*** message déplacé ***
Bonjour!
Après avoir étudié la fonction f(x)= 1/(1+e(-x))
(croissante sur , point d'inflexion en x=0, 2 asymptotes horizontales y=0 et y=1..)
on me demande de montrer que f(x) réalise une bijection de sur l'intervalle [0;1].
Voilà ce que j'ai fait:
"f:
[0;1][1/2;0.73]
f est bijective si et seulement si pour tout y de [1/2;0.73], l'équation
1/(1+e(-x))= y a exactement une solution
-ln((1/y)-1)=x
Or pour y=0,62 on trouve bien x=0,5
[0;1] donc f est bijective sur cet intervalle."
En fait je ne sais pas comment rédiger ce passage, et ce qu'il faut montrer de plus..
Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance!
*** message déplacé ***
Bonjour,
Tu pourrais faire appel au théorème de la bijection
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors, pour tout réel k appartenent à l'intervalle f(I) :
l'équation f(x) = k a une solution unique dans l'intervalle I.
*** message déplacé ***
c'est génial! merci à toi!
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