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Domaine de Dérivabilité
Bonsoir à tous,
Ma question risque de vous sembler stupide, mais voilà je galère un peu pour démontrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle donné.
Prenons par exemple la fonction suivante : f(x)=root(x(4-x)) définie sur [0;4], comment montrer rapidement que cette fonction est dérivable sur ]0;4[ ?
Notre prof nous a dit que cette notion n'est plus vraiment au programme et on a l'habitude d'expédier ce genre de question par une simple phrase du style : "f dérivable sur un intervalle car c'est une fonction composée de fonctions dérivable sur ce même intervalle"
Or dans mon exemple, même si les fonctions x
x et xx(x-4) sont bien dérivables sur ]0;4[, elles le sont aussi sur ]0;4] alors que f n'est pas dérivable en 4. Donc est-ce que cette simple phrase en bleue est bien suffisante ? Ou alors j'ai raté quelques chose ...
Bref, merci pour votre aide.
Bonne soirée.
bonsoir
on a affaire à une composée
x
x(4-x) est dérivable sur [0;4], et prends ses valeurs dans 
+ , et s'annule en 0 et 4
xx est définie sur + ; dérivable sur +* (pas dérivable en 0)
x(x(4-x)) est donc définie là où x(4-x) est positif ou nul (sur [0;4] et elle est dérivable là où x(4-x) est strictement positif, donc sur ]0;4[
D'accord, merci pour votre réponse.
Du coup la phrase : "f dérivable sur un intervalle car c'est une composée de fonctions dérivables sur ce même intervalle." ne démontre rien, c'est bien ça? Puisqu'elle n'énonce pas toutes les conditions.
pour que fog soit dérivable sur I il faut que g soit dérivable sur I et que f soit dérivable sur g(I)
Bonjour, suite à vos réponses, et à un cours que j'ai trouvé sur mon livre de maths, voilà comment je rédigerais ma réponse, pouvez-vous me dire si cela est correct et rigoureux?
Soit f la fonction définie par f(x)=root(x(4-x)) sur [0;4]
Comme, pour tout x
]0;4[ : xx(4-x) dérivable sur I=]0;4[ et à valeurs dans J=+*
et que, xx dérivable sur J
Alors f : xroot(x(4-x)) dérivable sur I soit ]0;4[
Peut-être peut-on faire plus court tout en étant aussi juste.
Merci et bonne journée.
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