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donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence

Posté par
Pechor 20-06-19 à 20:05

bonsoir, est-ce-que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît je ne sais pas comment réaliser cette exercice.
voici l'exercice ci-dessous:

On cherche à démontrer par récurrence la valeur de la somme suivante :
​
\\ \\ \sum_{k=0}^{n}k^3 \\ \\

Quelle est sa valeur ?

Posté par
carpediemre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 20-06-19 à 20:18

salut

et si tu essayais de voir ce qu'on obtint pour n = 1, 2, 3, 4 ... jusqu'à ce que tu trouves une formule ... que tu démontres par récurrence ...

Posté par
Pechorre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 20-06-19 à 20:44

et bien je viens de le faire,j'ai donc calculer pour n=1,2,3,4 et je trouve

\\ \\ \\   \sum_{k=0}^{1}1^3=1 \\    \\ \sum_{k=0}^{1}1^3+2^3=9 \\ \\ \sum_{k=0}^{1}1^3+2^3+3^3=36 \\ \\ \sum_{k=0}^{1}1^3+2^3+3^3+4^3=100 \\ \\   

je conclus que à chaque fois on rajoute le terme qui suit c'est le principe de la somme mais après je ne sais pas comment faire pour trouver une formule a partir de ça...
Pour tous vous dire j'essaye de m'avancer sur le programme de terminale en allant sur kartable mais je ne comprend pas je suis donc venu ici pour voir si quelqu'un pourrait m'expliquer car là actuellement je suis un peu bloquer.

Posté par
carpediemre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 20-06-19 à 21:06

salut

donc tu n'es pas en terminale et tu veux t'avancer ...

c'est bien mais alors je ne peux pas t'aider ... car le propre d'avancer seul est ... d'avancer seul ...

PS : l'indice du haut de tes sommes est faux ...

Posté par
Pechorre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 20-06-19 à 21:08

bon et bien merci quand même.

Posté par
carpediemre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 20-06-19 à 21:56

allez un indice :

si ta somme varie de 1 à n regarde le double de  ton résultat et trouve un lien avec n ...

Posté par
vhamre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 21-06-19 à 12:07

Bonjour,

Le quadruple de ton résultat est peut-être plus incitatif ?

Posté par
flightre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 21-06-19 à 12:31

Salut
Essaie de travailler avec
(n+1)^3- n^3=3n^2+3n+1

Posté par
lafol Moderateurre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 22-06-19 à 00:36

Bonjour
j'espère que tu as quand même remarqué que tes quatre résultats sont tous des carrés ?
et tu as peut-être même reconnu de quels nombres ils sont les carrés ?

Posté par
mathafou Moderateurre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 22-06-19 à 18:18

Bonjour,

\sum_{k=0}^{1}1^3+2^3+3^3=36
vu qu'il n'y a pas de k du tout dans ce qui est après le signe Σ une telle écriture veut dire que
pour k = 0 on a le terme 13
puis pour k = 1 on a de nouveau le même terme 13
de sorte que le tout veut dire (13 + 13) + 23+33= 37
entre parenthèses le développement du signe Σ, auquel on ajoute (en l'absence de parenthèses le Σ porte sur le seul 13) les 23 + 33
ce qui est complètement faux

juste est "pour n = 3" :

\sum_{k=0}^{{\red 3}} {\red k^3= 0^3} + 1^3+2^3+3^3 = 36

il faut apprendre la signification, et savoir utiliser correctement le signe Σ d'abord !!

Posté par
lafol Moderateurre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 22-06-19 à 23:11

Bonjour

flight @ 21-06-2019 à 12:31

Salut
Essaie de travailler avec
(n+1)^3- n^3=3n^2+3n+1


doublement à côté de la plaque : ceci n'utilise pas de récurrence mais permet un calcul direct
et ça permet le calcul de la somme des carrés, pas celui de la somme des cubes ....

Posté par
Zormuchere : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 23-06-19 à 03:21

Avec un peu de bon sens on voit que tous les résultats sont des carrés
1, 9, 36, 100

pas besoin de multiplier par deux ou quatre

Posté par
Sylvieg Moderateurre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 23-06-19 à 08:01

Bonjour,
Remarquer que l'on a des carrés est immédiat ; mais ensuite pour conjecturer l'expression sous le carré il est utile de multiplier Sn par 4 ; ce qui revient à multiplier ce qui est sous le carré par 2

Pour clarifier, je propose de poser S_{n} = \sum_{k=0}^{{n}} {k^3}

( k=1 me semblerait aussi bien à la place de k=0 depuis le début de ce sujet)

Posté par
lafol Moderateurre : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 23-06-19 à 16:08

Une fois qu'on a remarqué qu'on a des carrés, ne peut on pas remarquer que ce sont les carrés de 1, de 3=1+2, de 6=1+2+3 et de 10=1+2+3+4 ?

Posté par
alb12re : donner la valeur simplifiée d'une somme par récurrence 23-06-19 à 17:32

salut,


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