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Double changement de base
Bonjour,
je ne parviens pas à résoudre la fin de cet exercice.
On donne 3 bases de ,
la base canonique, puis
et
.
1/ On demande la matrice de passage de F vers G.
On a les relations pour X :
et
avec P,Q les matrices de passage que j'ai déterminées. Avec
, on obtient la matrice de passage de la base F vers la base G qui est
.
2/ On donne f un endomorphisme linéaire, dont j'ai déterminé la matrice A dans les bases canoniques.
On demande la matrice qui représente f de la base F vers la base G.
Il faut prendre un , calculer
et pour finir faire le changement de base dans l'ensemble d'arrivée en transformant les coordonnées de
en des coordonnées dans la base G?
Qu'est-ce que cela donne au niveau de la matrice de f de la base F vers la base G?
Je vous remercie par avance pour votre aide.
salut
se rappeler que la matrice de passage de la base F à la base G est la matrice de l'application identité I dans les base F et G ...
tu peux alors faire un diagramme de composition des fonctions f et I qui se traduit par des produits de matrice (ou de leur inverse) de passage
en gros un truc comme ça :
B ----> B
x -----> f(x)
^ ^
| |
| |
F ----> G
Px ---> Qf(x)
PS : attention : ce diagramme est très certainement faux mais ildonne l'idée du raisonnement !!!
Bonjour, désolé Carpediem mais NON la matrice de passage d'une base F à une base G est celle de l'identité de la base G vers la base F .
salut
je tente une réponse
X --------M -------Y
P P
X'--------M' -------Y'
X=PX'
Y=PY'
Y=MX
Y'=M'X'
soit à partir de Y=MX il vient PY' = MPX' soit PM'X' = MPX'
soit M'= P-1MP à adapter à l'exercice
je te remercie de la correction ...
voir mon PS ... j'ai donné l'idée générale du raisonnement ... à traduire correctement ...
Bonjour
la réponse donnée par flight serait ok si on gardait la même base à l'arrivée et au départ
Là on n'a pas la même
On sera plus proche de ce qui se passe quand carrément les espaces de départ et d'arrivée ne sont pas le même : matrices équivalentes plutôt que semblables
Merci à tous pour votre aide.
Ce que je comprends de l'énoncé(pas clair??), c'est avec les notations indicées par les bases.
En premier lieu, on a et
.
On en tire et
.
Pour exprimer la matrice W de f de la base F vers la base G, il faut partir de puis calculer
et pour finir exprimer dans la base G, soit
.
Là où je m'embrouille, c'est que A est la matrice de f dans les bases B (canoniques) de départ et d'arrivée, donc l'utiliser quand on est dans l'ensemble de départ en base F est sans doute faux.
Et puis on a déterminé à la première question la matrice de passage de la base F vers la base G. On peut sans doute s'en servir....
Merci à nouveau
en effet, A ne s'applique qu'à des colonnes de coordonnées dans B, pour donner la colonne de coordonnées toujours dans B de l'image par f
tu pourrais partir d'un Y = f(X)
si on appelle la colonne des coordonnées de Y dans la base B, et
idem pour X, on a
et tu utilises ce que tu as déjà dit sur le changement de bases pour arriver à
Je pense avoir trouvé. Merci à tous pour votre aide.
Je reprends selon mes notations. On a la matrice de l'application linéaire de la base F vers la base G est égale à :
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