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Double Derivation d'une fonction, convexité

Posté par
Arno62627 04-11-20 à 10:46

Bonjour, j'ai un exercice sur la double dérivation auquel je galère quelque peu, je dois prouver la concavité de la fonction en cherchant la double dérivée, mais je ne suis pas sur de ce que j'ai fais voici l'exo
: Soit f la fonction definie sur]-1;+infini[ par
F(x) =racine(1+x)
1.Demontrez que f est concave.
2. Demontrez que pour tout reel x appartenant à]-1;+infini[, racine(1+x) <ou = 1+x/2
Merci d'avance pour ceux qui s'y plongeron

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 10:50

Bonjour

Que donnent les dérivées première et seconde ?

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 11:01

Salut j'ai trouvé pour f'(x)
1/2racine(x+1)
Et f"(x) = - 1/(2racine(x+1))au carré

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 11:08

D'accord avec la première mais il manque des parenthèses

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}

f'(x)= \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}

g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \quad g=\dfrac{1}{v}\quad g'=-\dfrac{v'}{v^2}

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 11:36

A quoi correspond g(x)?
C'est la dérivée seconde ?

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 11:40

Non  je l'ai écrit  pour éviter de traîner \dfrac{1}{2}

Relisez la dernière ligne

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 11:42

Étant donné que g est la dérivée de f(x), wi l'on dérive g(x) pour g'(x) on trouve f"(x)?

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 11:44

Pas tout à fait  il faudra remettre le \dfrac{1}{2}

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 12:06

Je trouve-1/4x+4

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 12:13

Non

je reprends ce que j'avais écrit

g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \quad g=\dfrac{1}{v}\quad g'=-\dfrac{v'}{v^2}

donc v(x)=\sqrt{1+x}  et v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}


Maintenant il n'y a plus qu'à remonter g'(x)=\dfrac{\dfrac{-1}{2\sqrt{1+x}}}{\sqrt{1+x}^2} \\

f''(x)=\dfrac{1}{2}g'(x)

Simplifiez

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 12:57

Voilà

** image supprimée **

* Modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques *

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 13:30

?

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 13:39

Rappel les scans de brouillon ne sont pas autorisés sur le site

Non, revoir les fractions \dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{1}{c}=\dfrac{a}{bc}

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 13:52

                -1
_____________________
2racine(1+x) (1+x)

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 13:59

Presque

f''(x)=\dfrac{-1}{4\sqrt{\left(1+x\right)^3}\, }

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 14:05

Houlala je suis perdu

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 14:16

Vous aviez oublié le \dfrac{1}{2} que j'avais écarté  un instant
\\ \sqrt{1+x}\times (1+x)=\sqrt{1+x}\times \left(\sqrt{1+x}\right)^2=\sqrt{1+x)\times (1+x)^2}=\sqrt{1+x)^3}

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 14:37

Oui mais je vois pas du tout comme determiner mon tableau de signe pour étudier la convexité de la fonction, c'est négatif 😩

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 14:44

Oui c'est toujours négatif

\sqrt{(1+x)^3} \geqslant 0 pour tout x mais ici strictement positif  non défini en -1

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 19:32

Pourquoi vous trouvez ça et moi
               -1
___________________
(4racine(x+1))(1+x)

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 19:40

C'est la même chose j'ai mis  1+x sous la racine

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 19:43

hekla @ 04-11-2020 à 14:16

Vous aviez oublié le \dfrac{1}{2} que j'avais écarté  un instant
\\ \sqrt{1+x}\times (1+x)=\sqrt{1+x}\times \left(\sqrt{1+x}\right)^2=\sqrt{1+x)\times (1+x)^2}=\sqrt{1+x)^3}

Dans ce calcul, pourquoi c'est \sqrt{1+x} et pas 2racine(1+x)

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 19:51

Parce que je n'ai pas repris la dérivée mais uniquement le morceau qui me semblait vous poser problème

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 19:59

Ok super

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 20:01

Mais si f"(x) est strictement positive cela signifie que f(x) est convexe ?
Or l'énoncé est: drmontrez que la fonction est concave

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 20:12

Que faites-vous du signe -

f''(x)=  {\Large\color{red}{-}}\underbrace{ \Bigg (\dfrac{1}{\sqrt{(1+x)^3}}\Bigg)}_{>0}

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 20:20

Suis bête je me suis trop concentré sir le denominateur

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 20:28

donc ça marche c 'est bien concave  

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 20:28

Je dois ensuite tracer la droite d'équation y=1/2x+1
Pour démontrer que pour tout x appartient à]-1;+infini[, racine(1+x)< ou = à 1+x/2
Mais je ne vois pas le rapport, y est l'équation d'une tangente à f ?

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 20:32

Pour montrer que la courbe est toujours en dessous

c'est une approximation de \sqrt{1+x} au voisinage de 0

Posté par
Arno62627re : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 20:37

Je n'ai pas compris, vous pourriez me montrer comment on fait cela ?

Posté par
heklare : Double Derivation d'une fonction, convexité 04-11-20 à 21:08

Pour trouver la position de deux courbes l'une par rapport à l'autre on étudie le signe de la différence


on étudie \phi : x\mapsto\sqrt{1+x}-\left(1+\dfrac{x}{2}\right)

On montre que \phi ''=f ''  comment varie f' ?

Pour quelle valeur de x a-t-on f'(x)=0  quel est alors le signe de f'(x)

variation de f  et montrez que f(x)\leqslant 0


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