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Double récurrence

Posté par
Oile 18-09-23 à 18:21

Bonjour à tous,
J'ai un exercice à faire sur la récurrence double mais nous n'avons pas encore vus cette notion avec le professeur.

Voilà le sujet :

Pour démontrer qu'une propriété Pn est vraie pour tout entier naturel n\geq n_{0}, on doit quelques fois utiliser une récurrence double :
Initialisation :
on vérifie que P_{n_{0}} et P_{n_{0}+1} sont vraies
Hérédité :
on suppose qu'il existe un entier naturel k\geq n_{0} pour lequel P_{k} et P_{k+1} sont vraies.
On démontre alors que P_{k+2} est vraie
Conclusion :
La propriété P_{n} est initialisée aux rangs n_{0} et n_{0} +1 et elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel n \geq n_{0}.

(Un) est la suite définié par U0 = 1 ; U1= -5 et pour tout entier naturel n, u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_{n}

Démontrer par récurrence double que, pour tout entier naturel n,
u_{n} = 4 * 2 ^ {n+1} -7 * 3^{n}


Et voilà ce que j'ai fait pour l'instant :

Pour l'instant, j'ai calculé l'initialisation en partant de n=0 :
U0 = 1
U0+1 = U1 = -5 comme nous le dit l'énoncé
J'ai calculé U0 en utilisant la formule de Un, je trouve bien les deux résultats correspondants, 1 et -5, la propriété est donc initialisée.
Ensuite, viens la partie de l'hérédité et c'est à ce moment là que je bloque, je ne comprends pas comment faire pour démontrer la formule explicite de Un.

Merci à tous ceux qui prendront le temps de me répondre.

Posté par
phyelec78re : Double récurrence 18-09-23 à 18:42

Bonjour,

1)vous avez vérifié  P_{n_{0}} et P_{n_{0}+1}   sont vraies pour u0 et u1
2) vous supposez que qu'il existe un entier naturel k\geq n_{0} pour lequel  P_{k} et  P_{k+1} sont vraies.
3) pour la suite calculez pour  commencer  :u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_{n} avec u_{n+1}=4*2^{n+2}-7*3^{n+1} et  u_{n}=4*2^{n+1}-7*3^{n}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Double récurrence 18-09-23 à 18:49

Bonjour,
Je me permets une remarque :
Si on travaille avec la lettre k, il faut continuer avec la lettre k.
Ce serait donc plutôt :
3) Pour la suite calculez pour commencer :
u_{k+2}=5u_{k+1}-6u_{k} avec u_{k}=4*2^{k+1}-7*3^{k} et u_{k+1}=4*2^{k+2}-7*3^{k+1}

Posté par
phyelec78re : Double récurrence 18-09-23 à 19:04

exacte Sylvieg. Cordialement Phyelec78

Posté par
Oilere : Double récurrence 20-09-23 à 17:07

Bonjour,
J'ai calculé Uk+2 comme vous me l'aviez demandé mais je ne comprends pas à quoi cela va me servir je trouve :
u_{k+2} = 2(40*2^{k})-2(35*3^{n})-48*2^{n}+42*3^{n}

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Double récurrence 20-09-23 à 17:53

Je réponds en l'absence de phyelec78.
Il n'y a que du k :

u_{k+2} = 2(40*2^{k})-2(35*3^{k})-48*2^{k}+42*3^{k}
Et devant 35, ce n'est pas un 2 mais un 3.
Tu peux réduire 802k - 482k = (....)2k.

Tu espères trouver l'égalité u_{n} = 4 * 2 ^ {n+1} -7 * 3^{n} pour n = k+2.
L'as-tu écrit quelque part, après avoir remplacé n par k+2, pour loucher dessus ?

Posté par
Oilere : Double récurrence 20-09-23 à 18:15

Donc là, je trouve u_{k+2} = 32*2^{k}-147*3^{k} mais par contre, je ne comprends pas votre dernière phrase, pouvez m'expliquer ? Merci d'avance

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Double récurrence 20-09-23 à 18:23

Tu cherches à démontrer l'hérédité pour u_{n} = 4 * 2 ^ {n+1} -7 * 3^{n}
Dans ce but, tu as supposé l'égalité vraie pour n = k et n= k+1, et tu cherches à démontrer qu'alors l'égalité est vraie pour n = k+2.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Double récurrence 20-09-23 à 18:27

Je suis d'accord avec le 32, mais pas avec le 147.

Posté par
Oilere : Double récurrence 20-09-23 à 19:08

j'ai modifié, je trouve maintenant :
32*2^{k}-63*3^{k}

Mais par contre je pensais que je venais de faire le calcule pour démontrer que l'égalité était vraie pour k+2 et qu'il me restait juste à conclure mais du coup je ne comprends comment faire, déjà pour passer de 32*2^{k}-63*3^{k} à 4*2^{k+1}-7*3^{k}
mais je ne comprend pas le calcule qui me reste à faire pour prouver que l'égalité est vraie pour k+2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Double récurrence 20-09-23 à 19:18

Tu veux démontrer que l'égalité u_{n} = 4 * 2 ^ {n+1} -7 * 3^{n} est vraie pour n = k+2.
Autrement dit, tu veux démontrer ceci :

u_{k+2} = 4 * 2 ^ {k+2+1} -7 * 3^{k+2}
Tu en es proche.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Double récurrence 20-09-23 à 19:22

Je ne vais plus être disponible avant demain.
Mais phyelec78 ou un autre aidant pourront continuer à t'aider.

Posté par
Oilere : Double récurrence 20-09-23 à 19:41

D'accord, je dois montrer que 32*2^{k}-63*3^{k}
est égale à u_{k+2} = 4 * 2 ^ {k+2+1} -7 * 3^{k+2} mais je ne comprends pas comment faire. Je ne vois pas ce que je pourrais changer pour arriver à la même chose.

Posté par
Oilere : Double récurrence 20-09-23 à 20:27

C'est bon ! ! !
J'ai trouvé, merci beaucoup pour toute votre aide, bonne fin de soirée !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Double récurrence 21-09-23 à 08:15

De rien, et à une autre fois sur l'île \;


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