Dék=jà, pour ta premi_re question :

<font color=blue>Alors M = k".a'.b'.g = k".m' (k">1)
Je voudrais savoir pourquoi le plus petit des multiples communs est obtenus avec k"=1.</font>
Et bien quelle que soit la valeur que tu donnes à k'', tu sais que tu vas obtenir un multiple commun à a et b...
(par exemple, pour k''' = 4,k'''.m' = 4.m' est un multiple commum à a et b)
Et si k''' > k''  alors k''' . m' > k'' . m'
D'où l'idée de prendre k'' le plus petit possible (tout étant un entier non nul)

Pour la seconde démonstration :

<font color=blue>Ensuite,
Donc <font color=red>---> là, je dirais plutôt : soient k et k' deux entiers distincts compris entre 1 et (p-1) tels que...</font>
r_k = r_k'
k.a k'a(p)
<font color=red>--->  k et k' sont deux entiers distincts compris entre 1 et (p-1)... supposons par exemple que k > k'...ainsi, on va tout faire passer dans le membre de gauche...</font>
(k-k').a 0(p) et a^p=1 donc d'apès le théorème de Gauss p|(k-k')

Jusque là j'ai compris.  

Or 0 k-k' p-1.
<font color=red>--->  en effet, par hypothèse,
k p - 1
Or   k'.
Donc k - k' p - 1

Et je te l'ai dit, comme k et k' jouent un rôle symétrique, on pouvait supposer que k' < k <font color=black>(visiblement dans ta démo, ce serait plutôt k' k, mais, personnellement, je préfère garder des inégalités strictes, car il est totalement inutile de considérer le cas où k = k'...)</font>

Mais alors 0 < k - k' <font color=black>(ou avec les inégalités larges, 0 k - k' )</font>

Et donc, finalement; 0 < k - k' p - 1<font color=black> (ou avec les inégalités larges, 0 k - k' p - 1)</font>

</font>

Donc c'est imposssible.

C'est là que je ne comprends pas. Pourquoi est impossible?</font>

<font color=red>--->  et bien tu viens de montrer que (k - k') est un entier naturel strictement inférieur à p...
p ne peut donc pas le diviser
(car si p divise m, nécessairement, m = 0 ou p m
Donc nécessairement, (k - k') = 0.
C'est là que mes inégalités strictes sont les bienvenues : si l'on veut conclure 'c'est impossible', il faut bien à un moment donné supposer que k k'...

Sinon, la conclusion n'est pas 'c'est impossible', mais plutôt 'Donc k= k' '
</font>

----
Voilà... pour moi, il y avait une petite imperfection dans cette démo... Mais j'espère ne pas t'avoir embrouillé en te la faisant remarquer.
Si c'était le cas, n'hésite pas à me le dire : je reprendrais ça plus proprement

@+
Emma

Lol je crois que tu es tombé amoureuse des couleur en Latex Emma

C'est bien , ça met de la joie dans les topics . Déja qu'il y en avait rien qu'en la présence de tes réponses !


Jord

Je continue :

<font color=blue>1 * 2 * 3 * ... * (p-1).a^p-1 r₁.r₂. ... .r_p-1

<font color=red>or, par définition de (p-1)!, </font> (p-1)! = 1 * 2 * 3 ... * (p-1) <font color=red>XXX</font> (je suis d'accord avec ça) <font color=red>--> j'ai enlevé le a^p-1 qui n'avait rien à faire ici...</font>

<font color=red>Donc, l'égalité précédente s'écrit : </font>(p-1)!<font color=red>.a^p-1</font> = r₁.r₂. ... .r_p-1 <font color=red>--> cette fois, j'ai rajouté le a^p-1 qui manquait !</font>
(j'ai un doute pour cette ligne: est ce que cette ligne affirme que r₁=1 etc...)</font>
<font color=red>plus de doute à avoir ! ma réponse est NON [/sup]</font>

D'ailleurs, il n'y a pas de raison que ce soit r₁ qui soit égal à 1...
Justement, la seule chose que l'on sait, c'est que l'un des r_k est égal à 1, et qu'un autre des r_k est égal à 2, etc... jusqu'à le dernier des r_k est égal à (p - 1)

Par contre, sans savoir qui est égal à qui, ce que l'on peut affirmer, c'est que le produit r₁.r₂. ... .r_p-1 est forcément égal (quitte à changer l'ordre des facteurs, mais ce n'est pas gênant dans une multiplication)  à 1 2 ... (p - 1)
c'est-à-dire égal à (p - 1)!

C'est d'ailleurs pour cela qe, dans la suite de ta démonstration, on peut lire
<font color=blue>Donc (p-1)!.a^p-1 (p-1)!</font>

lol... en effet Nightmare, je m'éclate
Pour ce qui est de la couleur apportée par ma simple présence, je prendrais ça pour un compliment pour ma propre personne, et pas pour mon statut un peu particulier sur l'... ça ne te dérange pas

Enfin (ouf ), pour ce qui est de l'application du théorème de Gauss... elle est justifiée ici...

L'énoncé est en effet :

si | (.) et si ^ = 1 alors |
avec , et entiers naturels non nuls


Bon, posons :
--> = p
--> = (p - 1)!
--> = a^p-1 - 1


1. Déjà, ce sont bien des entiers...
* n'est pas nul car a 1, donc a^p-1 1
* n'est pas nul car p est premier
* et n'est pas nul par définition de n! pour n entier.


2. Ensuite, divise bien (.), puisque l'on vient de démontrer que . 0 (mod )


3. Et enfin, ^ = 1
En effet, = p est un nombre premier, donc ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Et les diviseurs de = (p - 1)! sont (par définition de (p-1)!...) tous les entiers compris entre 1 et (p - 1)
Mais donc seul 1 est un diviseur commun à p et à (p - 1)!

---
Nous pouvons donc bien appliquer le théorème de Gauss (toutes les conditions sont vérifiées...)

On conclut alors que | ,
c'est-à-dire ici que p divise a^p-1 - 1


<font size=4><font color=purple><i><b>Ca y est... c'est fini</b></i></font></font>

Il ne te reste plus qu'à tout reprendre...
Bon courage