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Droite d'Euler dans un triangle

Posté par
Spleen
15-12-17 à 15:21

Bonjour à tous, je suis en PESS et notre professeur de mathématiques nous a donné un DM pour la rentrée concernant la Droite d'Euler dans le triangle, j'ai vu plusieurs topics concernant ce sujet, cependant soit je n'ai pas compris, soit je n'ai pas été capable de reproduire avec les explications les réponses adaptées à mon sujet, alors le voici en espérant que vous puissiez m'aider :
Dans un repère orthonormé (O; I; J) on considère les points : A (0;3) B(-2;1) et C(2;1):

1) L'Orthocentre H :

a) Déterminer les équations des hauteurs issues de A et de B du triangle ABC.
b) En déduire par le calcul, les coordonnées du point d'intersection de ces deux hauteurs. On appellera ce point H.
c) Vérifier que la hauteur issue de C passe également par H. Quelle propriété du triangle retrouve-t-on? (H est appelé l'Orthocentre)

2) Centre de gravité, ou isobarycentre G :

a) Déterminer les coordonnées des points I, J et K, milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB] (I est associé au sommet A, J au sommet B et K au sommet C).
b) Déterminer les équations des médianes issues de A et de B du triangle ABC.
c) En déduire les coordonnées du point d'intersection de ces deuc médianes. On appelera ce point, G.
d) Vérifier que la médiane issue de C passe également par G. Quelle propriété du triangle retrouve-t-on ? (G est appelé centre de gravité du triangle ou isobarycentre des points A,B et C)

3) Centre du cercle circonscrit Ω :

a) Déterminer les équations des médiatrices des segments [AB] et [BC].
b) En déduire les coordonées du point d'intersection de ces deux médiatrices. On appelera ce point, Ω.
c) Vérifier que la médiatrice de [AC] passe par Ω.
d) Justifier par un raisonnement purement géométrique que le point Ω d'intersection des médiatrices, est bien le centre du cercle passant par les points A, B et C, et que ce cercle est unique.
e) En déduire l'équation canonique puis cartésienne de ce cercle.
f) Montrer que dans ce cas particulier, le triangle ABC est isocèle en B (deux méthodes possibles)

4) Propriétés des points H, G et Ω :

a) Quel est le coefficient de proportionnalité entre les vecteurs AG et GI, entre les vecteurs BG et GJ et entre les vecteurs CG et GK ? Justifier par un calcul. Quelle propriété du triangle retrouve-t-on ?
b) Montrer que les points H, G et Ω sont alignés.
c) Quel est le coefficient de proportionnalité entre les vecteurs HG et HΩ ?


Voilà voilà, à titre indicatif cela n'est même pas 1/5 de la totalité du DM, sachant que j'ai de très grosses difficultées en maths et que je n'en ai pas fait depuis 2 ans, merci beaucoup d'être indulgent.
Je vous mets ici mes quelques tentatives désespérées de répondre à la 1) a) :

AI (0; -3) BC (4;0) BM (x+2;y-1) CA (-2;2)

vecteur AI : hauteur issue de A, son équation est de la forme :
vecteur AI.vecteur BC= 0 ⇔ (-2)*(4)+(-3)*0 = 0

vecteur BM : hauteir issue de B, son équation est de la forme :
vecteur BM. vecteur CA = 0⇔ (x+2)*(-2)+(y-1)*2 = 0

A vrai dire si j'ai fais ces essais c'est grâce à un autre topic cependant j'avoue ne pas trop savoir comment faire que ces équations ressemble à des équations de droites (ou du moins de hauteur) du style y = ax+b
Merci d'avance de votre aide !

Droite d'Euler dans un triangle

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 15:34

Voici la partie 2 de l'énoncé :

Partie B - Etude du cas général

Soient 3 points distincts A, B et C du plan et I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]:

1) Caractérisation vectorielle de G isobarycentre du triangle ABC :

En introduisant le point I par la relation de Chasles dans les vecteurs GB et GC, montrer que le point G isobaycentre des points A, B et C, vérifie la relation : GA+ GB+ GC = 0, relation (1) (on rappelle que dans un triangle, les médianes se coupent en leur tiers...).
Justifier que le point G est bien l'intersection des médianes du triangle ABC.

2) Caractérisation vectorielle de H orthocentre du triangle ABC.

a) Soit Ω le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. En introduisant le point I milieu de [BC] montrer que le point M définit par : (vecteurs) ΩM = ΩA + ΩB + ΩC appartient à la hauteur issue de A du triangle ABC (on remarquera que (vecteurs)ΩM - ΩA = AM).

b) Montrer, par un raisonnement analogue, que le point M ainsi défini, appartient aussi à la hauteur issue de B et de C. En déduire que le point M est l'orthocentre que l'on nommera H, du triangle ABC et vérifie la relation : (vecteurs)ΩH = ΩA + ΩB + ΩC, relation (2).

c) Des relation (1) et (2), en déduire que les points H, Ω et G sont alignés et que ΩH = 3ΩG

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 15:41

Le point B a donc pour coordonnées (- 2;- 1) et non (- 2; 1).
1.a) Qu'as-tu trouvé finalement comme équations des hauteurs issues de A et de B ?

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 15:45

Oui pardon, c'est une erreur  de frappe !

Et bien à vrai dire je ne sais pas du tout comment mettre mes équations sous la bonne forme, que dois-je mettre en a ou en b etc :/

Sur un autre site j'avais vu une méthide consistant à faire  (pour la hauteur issue de A) :
la pente de BA pour laquelle j'ai trouvé 1/5 et la pente de AI pour laquelle j'ai trouvé 0 cependant je n'ai pas compris comment il fallait mettre sous la forme y = ax+b
peut - être y = 1/5x + 0 ?

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 16:00

Ton équation de la hauteur issue de B était presque bonne.
Vec AC(2; - 2)
Vec BM(x + 2; y + 1)
AC.BM = 2(x + 2) - 2(y + 1) = 0
x + 2 - y - 1 = 0
x - y + 1 = 0  ou  y = x + 1 .

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 16:03

Ah ouii zut comme je m'étais trompé en recopiant j'ai pris B (-2; 1) et pas -1 !
Cependant comme A ne dépend pas de y et de x comment puis-je trouver son équation de la même forme ?

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 16:08

" son équation " : de qui ?

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 16:09

De la hauteur issue de A

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 16:14

C'est le même calcul que pour la hauteur issue de B. Qu'est-ce qui t'embarrasse ?

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 16:15

Il y a ni x, ni y et du coup je ne comprends pas d'où ils sont censé arriver ^^'

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 16:45

M(x; y) étant un point de la hauteur issue de A, il s'agit d'écrire que la produit scalaire AM.BC est nul.

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 16:52

Euh.. je dois avoir mal compris car I est un point issue de la hauteur de A mais pas M car M est issue de la hauteur de B non ?

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 17:00

Mais le point I n'appartient pas à la hauteur issue de A ! (AI n'est pas perpendiculaire à BC)

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 17:36

Alors du coup ça donne :

vec AM (x; y-3)
vec BC (4;0)

(vecteurs) AM.BC = 0 si et seulement si : x x 4 + (y-3)x0 = 0


Soit : 4x + ( y-3) = O

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 17:52

L'ordonnée du vecteur BC n'est pas 0.

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 18:01

je reprends :

vec AM (x; y-3)
vec BC (4;-2)

(vecteurs) AM.BC = 0 si et seulement si : x x 4 + (y-3)x(-2) = 0


Soit : 4x -2( y-3) = O

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 18:10

L'ordonnée de BC n'est pas davantage  - 2 !

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 18:18

A la vitesse ou j'avance j'aurais fais mon DM en 5 ans je pense x)))

Bon alooors :  

vec AM (x; y-3)
vec BC (4;2)

(vecteurs) AM.BC = 0 si et seulement si : x x 4 + (y-3)x2 = 0


Soit : 4x +2 ( y-3) = O

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 18:47

D'accord. On peut écrire cette équation soit  2x + y - 3 = 0 , soit  y = - 2x + 3 .

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 18:59

Et pour trouver le point d'intersection je fais :

-2x+3 = x+1 ?

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 19:04

Oui.

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 19:11

Et donc x = 2/3

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 19:38

Oui, c'est bien l'abscisse de l'orthocentre H.
Et son ordonnée vaut . . . ? (je me demande si cinq ans suffiront . . . . )

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 19:49

y = 2/3 + 1  soit y : 5/3 donc H (2/3; 5/3)

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 19:51

Pour vérifier que la hauteur issue de C passe également par H je dois utiliser les coordonnées de C j'imagine mais je ne comprends pas comment..

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 19:55

Il s'agit là de vérifier que l'équation de la hauteur issue de C est satisfaite par les coordonnées de H.

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 20:10

Du coup j'ai fais :

CM.AB = 0 si et seulement si : (x-2)x (-2)+(y-1)x(-2) = 0

Mais comme d'habitude je ne comprends pas comment arriver à la forme y = ax+b ^^'

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 15-12-17 à 21:10

Il faut développer et réduire l'expression que tu as trouvée.
Note qu'il est déconseillé d'utiliser  x  pour "multiplié", surtout quand il y a en même temps des  x  représentant une inconnue ou une abscisse; le signe  *  est préférable, ou même rien du tout :
(x - 2)(- 2) + (y - 1)(- 2) = 0 .
Mais il me semble qu'il y a une erreur dans l'ordonnée du vecteur AB.

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 12:34

Je ne vois pas où serait l'erreur,  A(0; 3) et B(-2;-1) AB est donc (-2;-2)  non ?

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 12:45

Ainsi -2(x-2)-2(y-1)=0
donne -x-y+1=0
y= x+1

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 13:15

AB : - 1 - 3 = - 4  et non  - 2 .

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 13:27

Ohlalalala

Bon alors CM.AB = 0 si et seulement si : (x-2)* (-2)+(y-1)*(-4) = 0
Soit -2x+4-4y+4=0
          -2x-4y+8 = 0

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 13:30

Du coup je trouve -4y=2x-8 soit y= (2x-8)/4 C'est possible ?

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 15:30

13h27 : équation exacte, mais qu'on peut simplifier et y réduire le nombre de signes  - .
13h30 : l'équation  y = . . . est erronée.

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 15:32

C'est justement en simplifiant l'équation que j'ai trouvé le y= mais visiblement je n'ai pas encoore la technique ^^'

Posté par
veleda
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 17:51

bonjour,
tu avais -4y=.....
pour avoir  y tu divises les deux membres  par-4

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 19:11

Ce sera donc : -4y=2x-8 soit y= (2x-8)/- 4

Merci !

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 19:40

Voici ce que j'écrirais :
- 4y = 2x - 8  (équation de 13h30).
Mise des termes dans l'ordre habituel :
2x + 4y - 8 = 0 .
Simplification (par 2) :
x + 2y - 4 = 0    (1)
Mise sous la forme  y = ax + b :
2y = - x + 4
y = - 1/2 x + 2   (2).
Voilà donc l'équation cherchée, présentée sous les deux formes (1) et (2) .

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 19:49

Ah oui d'ccord !  Je ne pense jamais à "diviser" pour simplifier ! Merci en tout cas !
J'ai continué jusqu'au 3) c) Toute seule environ cependant j'ai un résultat incohérent
Pour la médiane issue de B :

a = -3/-3 et le point J (1;2) est le point par lequel la médiane passe, je prends donc ses coordonnées pour obtenir b

y=ax+b
2=1*1+b
b= 1
je trouve donc une équation du type : y=x+1

Seulement pour la médiane issue de BC passant par I (0;0), en faisant la même technique j'obtiens une équation de type y = 0x ce qui me pose problème ^^''

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 20:58

C'est la médiane issue de A. Montre comment tu as fait.

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 21:07

J'ai fais a = 3-0/0-0 soit a=0
puis avec les coordonées de I (0;0) j'ai trouvé b :
y=ax+b
0=0*0+b
Soit b = 0
ainsi y = 0x-0 :<

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 16-12-17 à 21:37

a = 0 : faux.
Pour cette médiane-là, il faut prendre, comme équation générale de droite, non pas  y = ax + b , mais  ax + by + c = 0 .
Essaie encore.

Posté par
Spleen
re : Droite d'Euler dans un triangle 17-12-17 à 11:30

Pourquoi le type d'équation de droite change ? Je ne comprend pas ^^'
J'ai compris que a=3 cependant je ne sais pas comment trouver b avec ce genre d'équation ^^'

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 17-12-17 à 13:04

y = ax + b  peut être l'équation de n'importe quelle droite sauf d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Seule la forme  ax + by + c = 0  convient à toute droite.

Posté par
Homlys
re : Droite d'Euler dans un triangle 03-01-18 à 16:55

Bonsoir, je suis également coincé dans la partie B :

Citation :
Partie B - Etude du cas général

Soient 3 points distincts A, B et C du plan et I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]:

1) Caractérisation vectorielle de G isobarycentre du triangle ABC :

En introduisant le point I par la relation de Chasles dans les vecteurs GB et GC, montrer que le point G isobaycentre des points A, B et C, vérifie la relation : GA+ GB+ GC = 0, relation (1) (on rappelle que dans un triangle, les médianes se coupent en leur tiers...).
Justifier que le point G est bien l'intersection des médianes du triangle ABC.


J'ai juste fait en notation vectorielle :

GB = GI + IB et GC = GI + IC

Merci

Posté par
Priam
re : Droite d'Euler dans un triangle 03-01-18 à 19:29

Oui. Maintenant, forme  GB + GC + . . . .

Posté par
Homlys
re : Droite d'Euler dans un triangle 05-01-18 à 16:59

Merci,

GB = GI + IB et GC = GI + IC

Donc :

GB + GC = GI + IB + GI + IC
GB + GC = 2GI + IB + IC
GB + GC = -GA + IB - CI
GB + GC + GA = II
GB + GC + GA = 0

C'est ça ?
Il demande de justifier que le point G est bien l'intersection des médianes du triangle ABC. Je ne sais pas comment le justifier.

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