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Droite perpendiculaire dans l'espace
Bonjour !
Pouvez vous s'il vous plait m'aider dans la résolution de cet exercice :
Soit ABC un triangle rectangle en A. Sur la perpendiculaire en B au plan (ABC) on prend un point S distinct de B.
1)Faire unefigure : c'est bon je sais la faire.
2) Démontrer que la droite (AC) est perpendiculaire au plan (BAS)
Alors on sait que (SB) est perpendiculaire en B au plan (ABC) donc on en déduit que (SB) est perpendiculaire à (AB) et à (BC)
(BC) est aussi orthogonale à (AC).
On sait aussi que (AC) est perpendiculaire à (AB) puisque ABBC est un triangle rectangle en A.
Commentréussir à conclure avec tout ça ? Quelle propriété ou théorème utilisé ?
PAr avance merci pour votre aide !
Anan
Bonjour,
La droite (BS) étant perpendiculaire au plan (BAS) est donc orthogonale à tout droite de ce plan.
En particulier (BS) est orthogonale à (AC)
De plus (AC) est perpendiculaire à (AB).
Donc (AC) étant orthogonale à 2 droites sécantes du plan (BAS) ( (BA) et (BS) ), est perpendiculaire au plan (BAS).
Pourquoi la droite (BS) est perpendiculaire au plan (ABS) ?
(BS) est dans le plan (ABS) elle ne peut pas lui être perpendiculaire, si ?
Erreur:
j' ai voulu écrire:
(BS) étant perpendiculaire au plan (ABC) est donc perpendiculaire à toute droite de ce plan.
La suite est juste.
D'accord !
3)Quelle est la nature du triangle SAC ?
(AC) est perpendiculaire au plan (ABS)donc (AC) est orthogonale à toutes les droites de (ABS)
En particulier (AC) est orthogonale à (AS).
Donc le triangle SAC est un triangle rectangle .
Est-ce juste ?
4)On considère maintneant le plan P passant par B et perpendiculaire à (SC)
Ce plan coupe (SA) en A' et (SC) en C'.
Démontrer que (BA')est perpendiculaire à (SAC).
Que faut-il voir ?
(AC) perpendiculaire au plan (BAS) est orthogonale à toute droite de ce plan.
En particulier, (AC) est orthogonale à (BA').
(SC) perpendiculaire au plan P est orthogonale à toute droite de ce plan.
En peticulier, (SC) est orthogonale à (BA').
(BA') étant orthogonale à 2 droites sécantes (AC) et (SC) du plan (SAC) est donc perpendiculaire à ce plan.
On utilise toujours le même théorème ...
On me demande maintenant la nature du triangle A'BC'.
(BA') est orthogonale à (SAC) donc BA4 est orthogonal à toute les droite de (SAC)
A' appartient à (SA) et C'appartient à (SC) donc la droite (A'C') appartient au plan (SAC).
Donc (BA') est orthogonale à (A'C')
Donc A'BC' est un triangle rectangle en A'.
Est ce juste ?
oui ! merci !
On veut montrer maintenant que (C'A) et (CA) sont parallèles.
On a (AC) perpendiculaire à (SAC)
(BA') est perpendiculaire à (SAC)
A'BC' est un triangle rectangle en A' donc on a (A'C') orthogonale à (A'B).
Comme A'
Oublions le "Comme A'"
Comme (BA') est perpendiculaire à (SAC) (BA') est orthogonale à (AC)
Si deux droites sont orthogonales à une même troisième droite alors elles sont parallèles
Donc (AC) est parallèle à (A'C')
Est ce correct ?
Je ne comprends pas; en travaillant dans le plan (SAC), dire que les doites (AC) et (A'C') sont parallèles revient à dire que l' angle est droit.
Or ce n' est manifestement pas le cas.
Bref, ce que tu veux montrer est faux...
???
Si deux droites sont orthogonales à une même troisième droite alors elles sont parallèles
D' ailleurs, voilà un curieux théorème; d' où sort-il ?
Ah non ! je me suis trompée c'est si elles sont orthogonales à un meme plan alors elles sont parrallèles
Ca, c' est vrai, mais n' est plus applicable.
Je te le répète, (CA) et (C'A') ne sont pas parallèles; ton énoncé ne va pas...
D'accord
Ma dernière question c'est prouver en utilisant les résultas précédents qu'il existe une sphère passant par les cinq points A,B,A',C,C' et préciser son centre ?
Quel est le rapport entre les questions précédentes et la sphère ?
La question précédente étant foireuse, il est fort possible que celle ci le soit aussi.
Mais maintenant, casse croute... je vais réfléchir à tout ça cette après midi...
Cet après midi...
Bon, définitivement, quelque chose ne va pas.
Reprend point par point ton énoncé et regarde si c' est bien ce que tu as posté.
C' est tout ce que je peux te proposer...
Voici l'énoncé :
Soit un triangle ABC rectangle en A. Sur la perpendiculaire en B au plan (ABC) on prend un point S distinct de B.
1)Faire une figure claire que l'on complétera par la suite.
2) Démontrer que la droite (AC) est perpendiculaire au plan (BAS)
3)Quel est la nature du triangle SAC ?
4)On considère le plan P, passant par B et perpendiculaire à (SC). Ce plan coupe (SA) en A' et (SC) en C'. Démontrer que (BA') est perpendiculaire à (SAC).
Quelle est la nature de A' B C' ?
Je pense qu'ilpeut y avoir une erreur à cette réponse...
5)Montrer que (C'A') et (CA) sont parallèles.
6)Prouver, en utilisant les résultats précédents, qu'il existe une sphère passant par les 5 points B,A,A',C,C'. Préciser son centre.
Après mûre réflexion, voilà comment je vois la chose:
La question 5) serait:
5)Montrer que (C'A') et (CA) ne sont pas parallèles.
Facile: si elles l' étaient l' angle
Donc (C'A') et (CA) ne sont pas parallèles.
Un dessin pour la 6):
L' ensemble des points centre des sphères passant par A,B et C est l' intersection des plan médiateurs des segments [AB] et [AC]
Il s' agit de la droite (IJ) ( en rouge ) perpendiculaire au plan (ABC) et parallèle à (BS) où I est le milieu du segment [BC]
(IJ) est d' ailleurs une droite des milieux dans le triangle SBC et J est le milieu du segment [SC]
L' ensemble des points centre des sphères passant par A' et C' est le plan médiateur du segment [A'C']
(A'C') n' étant pas parallèle à (AC), ce plan n' est pas perpendiculaire à (AC) et (IJ) n' est donc pas parallèle au plan médiateur du segment [A'C'].
En conséquence, (IJ) et le plan médiateur du segment [A'C'] sont sécants en un point O centre d' une sphère passant par les points B,A,A',C,C'.
Demande à ton professeur s' il n' y a pas une erreur dans la question 5) et tiens nous au courant...
(A'C') n' étant pas parallèle à (AC), ce plan n' est pas perpendiculaire à (AC) et (IJ) n' est donc pas parallèle au plan médiateur du segment [A'C'].
Il vaut mieux écrire:
(A'C') n' étant pas parallèle à (AC), ce plan n' est pas perpendiculaire au plan ABC et (IJ) n' est donc pas parallèle au plan médiateur du segment [A'C'].
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