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droites de simpsom et cercle d euler
bonjour et merci d'avance a celui ou ceux qui vont me répondre
J'ai réussi à faire la partie I mais j'ai vraiment du mal pour la partie II
Dans tout le problème le plan est m'uni d'un repère orthonormé direct d'origine O et, pour tout z appartenant à C (complexe), M(z) désigne le point d'affixe z. On note Ul'ensemble des points du plan dont l'affixe est de module 1.
Partie 1.
Les similitudes directes et les droites
1) Montrer que toute similitude directe du plan est une application bijective du plan dans lui-même. (On
pourra utiliser la traduction complexe d'une similitude).
2) Montrer que les images de 3 points alignés du plan par une même similitude directe sont aussi alignés.
3) Montrer que l'image directe d'une droite du plan par une similtude directe est une droite.
Partie II.
La droite et le cercle
1) On considère trois points distincts A, B, C appartenant à U d'affixes respectives a, b, c. On appelle H l'orthocentre de ABC.
a) Montrer que le vecteur OH - (OA + OB + OC) est orthogonal à AB.
b) En déduire l'affixe de H en fonction de a, b et c.
2) Montrer que M1(ZI), M2(Z2), M3(Z3) sont alignés si et seulement si Z1Z2(barre) + Z2Z3(barre) + Z3Z1(barre) appartient à R
3) Soient A(a) et B(b) deux points distincts appartenant à U. Montrer que l'équation complexe de la droite (AB), c'est à dire la condition portant sur l'affixe z d'un point M pour que ce dernier appartienne à la droite (AB) peut s'écrire: M(z) appartient à (AB) équivaut à z + abz(barre) = a + b.
4) Soient A(a), B(b), C(c), D(d), quatre points de U tels que A=/=B et C=/=D. Montrer que les droites (AB),
(CD) sont perpendiculaires si et seulement si ab + cd = O.
5) Soient A(a), B(b), C(c) trois points de U. On suppose B=/=C.
a) A quelle condition portant sur a, b, c les droites (OA) et (BC) sont elles parallèles?
b) On suppose que (OA) n'est pas parallèle à (BC). Déterminer l'équation complexe de la perpendiculaire
à (BC) passant par A.
c) Répondre à la même question dans le cas où (OA) et (BC) sont parallèles. Que peut-on en conclure?
6) Soit A, B, C trois points de U, on les suppose distincts deux à deux et d'affixes respectives a, b, c. Soit M(z) un point de U. On projette M orthogonalement sur les droites (BC), (CA), (AB) en P, Q, R respectivement:
a) Déterminer les affixes p, q, r de ces trois points en fonctions de a, b, c, z.
b) Montrer que les trois points P', Q' , R' d'affixes respectives bc + az, ac + bz, ab + cz sont alignés et non
tous trois confondus.
c) Montrer que 0 appartient à la droite passant par pl, Q', R'.
d) Trouver une transformation géométrique de la forme f
f+
transformant P', Q', R' en P, Q,R respectivement.
En déduire que P, Q, R sont alignés et non tous trois confondus.
On note 
M(ABC) la droite passant par P, Q ,R et M'(ABC) la droite passant par P', Q' ,R'. La droite M(ABC) s'appelle la droite de Simson de M relative au triangle ABC.
7) Soient A, B, C, D quatre points distincts de U.
a) Montrer que les droites D(ABC), c(DAB), B(CDA), A(BCD) sont concourantes en un point
b) Montrer que si M est l'un des quatre points A, B, C, D et HM est l'orthocentre du triangle formé par
les trois autres, le point 
occupe une position particulière par rapport à H et M; laquelle?
8) Etant donné un triangle on appelle cercle d'Euler de ce triangle le cercle passant par les milieux de ses
côtés.
ABC désignent toujours trois points distincts de U d'affixe respectives a, b, c, H désigne l'orthocentre ABC.
a) Montrer que le centre du cercle d'Euler du triangle ABC est le milieu de [OH].
b) On appelle A1 le projeté orthogonal de A sur (BC) et est le milieu de [AH]. Déterminer les affi: x
de Al et de .
c) En déduire que le cerle d'Euler du triangle ABC passe par Al et Œ.
d) Montrer que le point défini en question 7 est sur le cercle d'Euler du triangle formé par trois poil quelconques choisis parmi A, B, C, D.
Merci encore si quelqu'un trouve la solution de me répondre au revoir
Bonsoir alinea;
Rappel:
Une similitude directe du plan euclidien orienté est la composée d'une rotation
et d'une homothétie
(mm centre,
).
Remarque: (le produit est commutatif).
et
sont appelés respectivement centre,angle et rapport de la similitude directe
.
Dans le plan complexe,en identifiant un point à son affixe,on peut écrire:
où
remarquer que et
sont respectivement le rapport et l'angle de la similitude directe
.
1)
Il est facile de voir que:
et donc que
est une bijection du plan dans lui mm de bijection réciproque la similitude directe de mm centre,de rapport et d'angle respectivement l'inverse et l'opposé du rapport et de l'angle de
.
2)
si sont trois points du plan complexe (
)on a:
et donc que
et comme on voit qu'une similitude directe transforme 3 points alignés en 3 points alignés.
3)
Soit une droite du plan complexe (
) notons (D') la droite
d'aprés 2) on a que:
et comme
on a aussi:
d'où en composant par
et donc que
.
Sauf erreurs bien entendu 
A,B,C sont sur le cercle de centre O de rayon 1. OA+OB est donc perpendiculaire à AB, et comme H est l'orthocentre CH=OH-OC est perpendiculaire à AB. Donc OH-(OA+OB+OC) est perpendiculaire à AB. Compte-tenu de la symétrie entre A, B et C, ce vecteur est également perpendiculaire à BC et CA, ce qui n'est possible que s'il est nul. Donc OH=OA+OB+OC et l'affixe de H est a+b+c
(à suivre)
Quels que soient z1 et z2, (z1-z2)(z1barre-z2barre) est réel, et comme z1z1barre et z2z2barre sont réels, z1z2barre+z2z1barre est réel.
z1, z2 et z3 sont alignés ssi (z3-z2)(z3barre-z1barre) est réel donc ssi z2z1barre-z2z3barre-z3z1barre est réel, et, en soustrayant à l'expression ci-dessus ssi
z1z2barre + z2z3barre + z3z1zbarre est réel
M(z) sera aligné avec A et B ssi a*bbarre+b*zbarre+z*abarre est réel donc si sa partie imaginaire est nulle. Or u-ubarre=2Im(u) donc
a*bbarre+b*zbarre+z*abarre-(a*bbarre+b*zbarre+z*abarre)barre=0
a*bbarre-abarre*b+z(abarre-bbarre)+zbarre(b-a)=0 soit
z+zbarre(b-a)/(abarre-bbarre)=(abarre*b-a*bbarre)/(abarre-bbarre)
et comme aabarre=bbbarre=1, (a+b)(abarre-bbarre)=(abarre*b-a*bbarre) et ab(abarre-bbarre)=b-a
donc z+abzbarre=a+b
(à suivre)
Bonjour;
2)
Commençons par remarquer que
et donc que:
ainsi on a:
.
3)
remarquons maintenant que la puissance de par rapport à
s'écrit:
et donc que
on déduit alors que:
soit
et en multipliant par
qui est de module
on aboutit finalement à:
.
Sauf erreurs bien entendu
u/ubarre a pour module 1 et pour argument le double de l'argument de u; donc u et v seront perpendiculaires si u/ubarre+v/vbarre=0 (en effet l'argument de v/vbarre est l'argument de u/ubarre +pi)
donc (a-b)/(abarre-bbarre)+(c-d)(cbarre-dbarre)=0
Or (a-b)/(abarre-bbarre)=(a-b)(1/a-1/b)=-ab ; idem pour cd
d'où ab+cd=0
(à suivre)
De même OA sera parallèle à BC ssi (c-b)/(cbarre-bbarre)=a/abarre soit
(c-b)/(1/c-1/b)=a^2 soit a^2+bc=0
Si OA n'est pas parallèle à BC, la perpendiculaire à BC passant par A recoupera U en un point A' (a') tel que aa'+bc=0 (question 4) donc a'=-bc/a
l'équation de la droite AA' est alors, d'après la question 3
z-bc*zbarre= (a^2-bc)/a
Si OA est parallèle à BC, la perpendiculaire en A à BC est la perpendiculaire à OA et
(z-a)/(zbarre-abarre)+a^2=0 soit
z+a^2*zbarre=2a, et comme a^2=-bc on retrouve la même équation que dans le cas précédent
(à suivre)
Le point P est l'intersection de BC et de la perpendiculaire menée par M à BC. son affixe p vérifiera l'équation de BC et celle de la perpendiculaire menée par M à BC, soit
p+bc*pbarre=b+c et p-bc*pbarre=z-bc/z soit
p=(z+b+c-bc/z)/2. De même
q=(z+c+a-ca/z)/2
r=(z+a+b-ab/z)/2
Si l'on calcule (question 2)
p'q'barre+q'r'barre+r'p'barre=(bc+az)(1/ca+1/bz)+(ca+bz)(1/ab+1/cz)+(ab+cz)(1/bc+1/az)
=2(b/a+c/b+a/c)+z(1/a+1/b+1/c)+(a+b+c)/z
Or b/a+c/b+a/c est réel puisqu'égal à son conjugué, de même z(1/a+1/b+1/c)+(a+b+c)/z donc P', Q' et R' sont alignés
Calculons p'/p'barre=(bc+az)/(1/bc+1/az)=abcz de même pour les deux autres points et p'/p'barre=q'/q'barre=r'/r'barre P',Q' et R' sont alignés avec O
(à suivre)
p=z+a+b+c-(bc+az)/z=z+a+b+c-p'/z ; de même q=z+a+b+c-q'/z et r=z+a+b+c-r'/z
P, Q, R sont les images de P' Q' R' par une transformation linéaire (similitude) qui respecte l'alignement des points donc P Q R sont alignés
J'ai oublié de montrerplus haut que P' Q' R' n'étaient pas tous confondus
Si c'était le cas bc+az=ca+bz=ab+cz a, b et c sont distincts donc z=a, z=b et z=c impossible!
(à suivre)
L'image de O (aligné avec P',Q',R') par cette similitude est le point d'affixe z+a+b+c
Pour z=d c'est donc le point d'affixe a+b+c+d qui appartient à la droite deltaD(ABC)
Comptetenu de la symétrie de l'expression, il appartient aussi à deltaA(BCD) delta B(CDA) et deltaC(DAB): c'est donc le point oméga cherché
Nous avons vu que l'orthocentre H de A,B,C a pour affixe a+b+c On a donc (vectoriellement) Ooméga=OH+OD oméga est le 4ème sommet du parallélogramme construit sur O,H et D
(à suivre)
D'abord une correction j'ai perdu un 2 en route dans mes calculs: le début de l'avant dernier message devient
p=(z+a+b+c-(bc+az)/z)/2=(z+a+b+c)/2-p'/2z ; de même q=(z+a+b+c)/2-q'/2z et r=(z+a+b+c)/2-r'/2z
et le dernier
L'image de O (aligné avec P',Q',R') par cette similitude est le point d'affixe (z+a+b+c)/2
Pour z=d c'est donc le point d'affixe (a+b+c+d)/2 qui appartient à la droite deltaD(ABC)
Comptetenu de la symétrie de l'expression, il appartient aussi à deltaA(BCD) delta B(CDA) et deltaC(DAB): c'est donc le point oméga cherché
Nous avons vu que l'orthocentre H de A,B,C a pour affixe a+b+c On a donc (vectoriellement) Ooméga=(OH+OD)/2: oméga est le milieu de HD
Le milieu I de OH a pour affixe (a+b+c)/2 les milieus des cotés A' (b+c)/2, B' (c+a)/2 C' (a+b)/2, donc IA' -a/2, IB' -b/2, IC' -c/2. Puisque O est le centre du cercle A a, B b, C c, I est le centre du cercle A' B' C' (cercle d'Euler de rayon 1/2)
D'après 6a) l'affixe de A1 sera (a+b+c-bc/a)/2 et celle de alpha (a+(a+b+c))/2 Les affixes des vecteurs IA1 et Ialpha sont donc -bc/2a et a/2 , dont les modules sont égaux tous deux à 1/2: A1 et alpha sont sur le cercle d'Euler
Puisque oméga a pour affixe (a+b+c+d)/2, Ioméga a pour affixe d/2 donc oméga appartient au cercle d'Euler de ABC; il en sera de même pour les trois autres triangles, donc oméga est l'intersection des 4 cercles d'Euler
fin
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