Bonjour,

Une méthode qui marchera à tous les coups est de déterminer, pour un Z quelconque, sa projection P(Z) sur la droite reliant AB. Ensuite, le symétrique S(Z) sera tel que :
en termes de vecteurs : S(Z)P(Z) = P(Z)Z
en écriture complexe : P(Z)-S(Z) = Z-P(Z)
donc S(Z) = 2P(Z)-Z

Reste à trouver cette projection P(Z), tu cherches un peu et on en reparles ?

PS Il y a peut-être plus rapide, les experts habitués de l'île ne manqueront pas de nous le faire savoir

Quand tu ecris P(Z)-S(Z) ou Z-P(Z) tu veux parler de la différence des affixes ?
Si c'est ca c'est la distance AB qui est egale a zB-zA non ?

bonsoir

ceci peut être une autre méthode sachant que la méthode de leHibou est déjà très simple

dans (O;u;v) le symétrique du point d'affixe z est le point d'affixe zbar

z'=zbar

on se place donc dans un repère orthonormal dont l'axe des réels est (AB) et l'origine est A par éxemple

dans ce repère z'=zbar

pour se ramener au repère 5O;u;v) original il faux affectuer la rotation de centre A et d'angle
-arg(affixe(AB))=-µ (2Pi)

on doit avoir z"-a=exp(-iµ)(z'-a)
donc
z"=exp(-iµ)zbar+a(1+exp(-iµ)

j'ai rien compris a ta méthode watik.
Sinon lehibou, je vois pas pour P(Z)

Watik dans (O;u;v) le symétrique du point d'affixe z n'est le point d'affixe zbar, car ca dépend de l'axe de symétrie que t'a oublié de préciser. Par rapport a l'axe des abscisses oui c'est zbar .

Un point quelconque de la droite (AB) est obtenu comme barycentre de A et B avec un paramètre t réel :
M(t) = tA + (1-t)B
On se donne un point complexe Z et on cherche t0 tel que M(t) soit le projeté de Z sur AB
Les vecteurs M(t)Z et AB doivent être perpendiculaires, donc en termes d'affixes le quotient des nombres complexes associés doit être imaginaire pur (un théorème à connaître...)
Donc :
(Z-M(t))/(B-A) doit être imaginaire pur
Donc, en désignant par Re la partie réelle :
Re((Z-M(t))/(B-A)) = 0
Re((Z-tA-(1-t)B)/(B-A)) = 0
Ce qui permet de déterminer t.
Or on a :
(Z-tA-(1-t)B)/(B-A)) = (Z-B+t(B-A))/(B-A) = (Z-B)/(B-A)+t
Donc, t étant réel, Re((Z-tA-(1-t)B)/(B-A) = Re((Z-B)/(B-A)) + t = 0
Donc t = - Re((Z-B)/(B-A)) = Re((Z-B)/(B-A))
Donc le projeté P(Z) est :
P(Z) = B + t(A-B) = B+(B-A)Re((Z-B)/(B-A))
C'est moyennement satisfaisant, mais à partir de là on peut repasser en coordonnées "pour voir".
Je poste déjà ça...

A = 1+i
B = -1-2i
B-A = -2-3i
Z = X+iY
Z-B = X-1+i(Y-2)
(Z-B)/(B-A) = (X-1+i(Y-2))/(-2-3i) = (X-1+i(Y-2))(-2+3i)/13
Re((Z-B)/(B-A)) = (1/13)(-2(X-1)-3(Y-2))
P(Z) = -1-2i + (-2-3i)(1/13)(-2(X-1)-3(Y-2))
S(Z) = 2P(Z)-Z
= 2(-1-2i + (-2-3i)(1/13)(-2(X-1)-3(Y-2))) - (X+iY)
Ca ne donne pas grand-chose

Finalement j'ai créé un nouveau post pour obtenir une solution générale, il a obtenu une réponse, tu trouveras ta solution ici : Symétrie par rapport à une droite dans le plan complexe

L'idée de base est d'utiliser (AB) comme axe des abscisses provisoire, watik n'était pas très loin...