Niveau terminale

Ecriture decimale

Posté par pong (invité) 06-11-05 à 13:49

Bonjour, j'ai un exercice à faire et je ne vois pas comment faire :

Déterminer le chiffre des unités de l'écriture décimale de l'entier :

A= k¹⁰⁰ pour k=1 jusqu'à 10.

Merci

Posté par re : Ecriture decimale 06-11-05 à 14:27

Salut,

$\fbox{1^{100} \eq 1 [10]}$

________________

$2^0 \eq 1 [10]$
$2^1 \eq 2 [10]$
$2^2 \eq 4 [10]$
$2^3 \eq 8 [10]$
$2^4 \eq 6 [10]$
$2^5 \eq 2 [10]$
$2^6 \eq 4 [10]$
...

Donc pour $n = 4k$ avec $k\neq 0$ , $2^k \eq 6 [10]$ .

Donc $2^{100} = 2^{4\times 25} \eq 6 [10]$ .

$\fbox{2^{100} \eq 6 [10]}$

__________________

$3^2 \eq -1 [10]$ donc $3^{2n} \eq (-1)^n [10]$ .

Donc $3^{100} = 3^{2\times50} \eq (-1)^{50} = 1 [10]$ .
$\fbox{3^{100} \eq 1 [10]}$

____________________

$4^{100} = 2^{200}=2^{4\times50}$ et $8^{100}=2^{300}=2^{4\times75}$ donc $\fbox{4^{100} \eq 6 [10]}$ et $\fbox{8^{100} \eq 6 [10]}$ .

____________________

Pour tout n, $5^n \eq 5 [10]$ donc $\fbox {5^{100} \eq 5 [10]}$ .

______________________

$6^n = 3^n \times 2^n$ donc $\fbox{6^{100} \eq 6 [10]}$ .

_______________________

$7^0 \eq 1 [10]$
$7^1 \eq 7 [10]$
$7^2 \eq 9 [10]$
$7^3 \eq 3 [10]$
$7^4 \eq 1 [10]$
$7^5 \eq 7 [10]$
...

Donc pour tout $k \in\mathbb{N}$ , $7^{4k} = 1 [10]$ .

Donc $\fbox{7^{100} \eq 1 [10]}$ .

_______________________

$9^{100} = 3^{200} = 3^{2\times100}$ donc $\fbox{9^{100} \eq 1 [10]}$ .

_________________________

$\fbox{10^{100} \eq 0 [10]}$

En sommant tout ça, on obtient $\Bigsum_{k=1}^{10} k^{100} \eq 1+6+1+6+5+6+1+6+1+0 \eq 3 [10]$ .

Donc le chiffre des unités de $\Bigsum_{k=1}^{10} k^{100}$ est 3.

Sauf erreur.

à+

Posté par pong (invité)re : Ecriture decimale 06-11-05 à 15:13

merci beaucoup, j'ai compris comment il faut faire.

Par contre il y a une erreur pour 2 :
C'est $2^n%20\eq%206%20[10]$ soit 2^4k

non ?

Posté par re : Ecriture decimale 06-11-05 à 15:15

Oui, c'est bien ça.

Je voulais écrire $\red 2^n\eq 6 [10]$ .

à+

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