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ecriture simplifier

Posté par
H_aldnoer 24-01-05 à 20:28

slt voila le petit exos :
simplifier :
5^0+5^1+5^2+5^3=
4^0+4^1+4^2+4^3=
x^0+x^1+x^2+x^3=
x^0+x^1+x^2+x^3...+x^n=

Posté par
isisstruissre : ecriture simplifier 24-01-05 à 20:47

Tu peux voir ce problème comme la somme partielle d'une suite géométrique de raison x:
u_0=1,\quad u_1=x,\quad\ldots,\quad u_n=x^n

On a S_n=\bigsum_{i=0}^{n}x_i=\frac{x^{n-1}-1}{x-1}

Isis

Posté par
H_aldnoerre : ecriture simplifier 24-01-05 à 20:47

un pe d'aide merci

Posté par
H_aldnoerre : ecriture simplifier 24-01-05 à 20:51

le probleme c kapres ca ce complique et ca donne "simplifier alors ceci et calculer la limite" :
\frac{221}{3021}^0+\frac{221}{3021}^1+...+\frac{221}{3021}^{n/2}

Posté par
isisstruissre : ecriture simplifier 24-01-05 à 21:04

Je ne vois pas où est le problème. Tu prends x=\frac{221}{3021} et tu fais la somme jusqu'à n/2.

Si tu cherches la limite quand n\rightarrow\infty et que x<1, tu as
S_n=\bigsum_{i=0}^{\infty}x_i=\frac{1}{1-x}
Isis

Posté par
H_aldnoerre : ecriture simplifier 24-01-05 à 21:10

mais on ne trouve pa pareil :
4^0+4^1+4^2+4^3=85
et \frac{4^{3-1}-1}{4-1}=5

Posté par
isisstruissre : ecriture simplifier 24-01-05 à 21:18

Ok, désolée, je me suis trompée. L'exposant de x est n+1 et non n-1. Là on a pareil.
S_n=\bigsum_{i=0}^{n}x^i=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}

Isis

Posté par
H_aldnoerre : ecriture simplifier 24-01-05 à 21:42

ok merci bcp mais comment raisonne t on pr trouver cette ecriture de la suite ??

Posté par
isisstruissre : ecriture simplifier 25-01-05 à 09:16

Tu peux faire une joli preuve par récurrence... Mais il me semble que l'on apprend ça à l'école quand on étudie les suites géométriques. Je sais trouver la somme partielle à partir de la somme infinie et vice-versa, mais je n'ai pas d'idée pour démontrer celà "à partir de rien". Si je devais le démontrer je le ferais par la récurrence.

Isis

Posté par
ma_corre écriture simplifiée 25-01-05 à 09:57

Bonjour.
Voici une démonstration de la somme partielle des n premiers termes d'une suite géométrique de 1er terme a0 et de raison q.
Soit S=a_0+a_1+...+a_{n-1} la somme des n premiers termes.
Mais a_1=a_0.q   a_2=a_0.q^2   ...   a_{n-1}=a_0.q^{n-1}.  Ainsi,
S=a_0+a_0q+a_0q^2+...+a_0q^{n-2}+a_0q^{n-1}
Multiplie S par q :
qS=a_0q+a_0q^2+a_0q^3+...+a_0q^{n-1}+a_0q^n.
Soustrais ce deuxième résultat du premier, membre à membre. Tu constates que beaucoup de termes s'annulent et il reste :
S-qS=a_0-a_0q^nS(1-q)=a_0(1-q^n)S=a_0\frac{1-q^n}{1-q} à condition que q1
Voilà.

Posté par
isisstruissre : ecriture simplifier 25-01-05 à 19:15

Pas mal! Très jolie démo. Cela me rappelle mes études... Je pense que H_aldnoer va être content.

Isis

Posté par
H_aldnoerre : ecriture simplifier 25-01-05 à 19:24

lol kler ke je sui content ...
cela te rappelle tes etudes ??


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