Bon tu cherches juste un élément de ce corps engendrant une extension de degré 6 .   j(2^(1/3)) me semble plus simple non ?

bonjour lolo.
Comment tu fait pour montrer que  j(2^(1/3)) engendre Q[2^1/3,j]=Q[2^1/3][j] ??

Q(2^1/3,j)  est une extension de  Q  de degré  6 comme elle contient
Q(2^1/3j) qui est aussi de degré 6 elle sont égales (c'est à ça que sert la notion d'espace vectoriel :comparez deux ensembles muni de cette structure est facile si on connait une inclusion et la dimension)

Le degré, ca désigne la dimension sur Q ?

parceque le polynome minimal de j*2^(1/3) c'est  x^3-2, donc le degré c'est plutot 3 que 6

oui le degré c'est la dimension sur  Q eh oui ben je me suis vautré

Bon du coup je propose  2^(1/3) + j  , tu sais que le degré de ce nombre DIVISE  6  donc si tu montres que ce n'est ni 2 ni 3 c'est gagné (c'est clairement pas 1). Inutile de trouver le polynôme minimal.

Je fais pour 2  :  a + b (2^1/3 +j)+ c (2^1/3 +j) ² = 0  ssi : (on isole les termes en  j  des autres car  1  et  j  sont libres sur  Q) :

a + b 2^1/3 + c(2^2/3 -1) = 0
b -c + c(2^4/3) = 0  comme  2^4/3-1  n'est pas dans  Q : c= 0 puis b=0 a= 0 .

Je te laisse le dernier cas .