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Elements d'ordre fini dans un groupe
Bonsoir 
Soit (G,.) un groupe, a et b des éléments de G d'ordre fini respectifs x et y premiers entre eux. On suppose que a et b commutent. Montrer que l'ordre de a.b est x.y
Soit n l'ordre de a.b on a (ab)^n = 1 soit en élevant à la puissance y : [(ab)^n]^y = 1^y = 1 d'où a^(ny).b^(ny) = 1
Or comme b est d'ordre y on a b^(ny) = 1 donc a^(ny) = 1.
De même on a b^(nx) = 1. Est-ce que je peux en conclure que y divise n ?
Ca m'arrangerait comme ça puisque x et y sont premiers entre eux et divisent tout deux n alors x.y divise n aussi.
Par contre je ne vois pas où intervient la commutativité
Merci !
Salut kévin,
Tu t'en sers ici :
[(ab)^n]^y = 1^y = 1 d'où a^(ny).b^(ny) = 1
Moi je le vois en mettant à plat la formule...
Peut-être en écrivant a^(ny) = 1 = a^(x) donc ny est un multiple de x, donc il existe k dans Z tq ny = kx donc x divise ny et x et y sont premiers entre eux donc d'après Gauss x divise n.
Et de même y divise n donc x.y divise n.
Ca c'est ok
Me reste à conclure...
Ok donc il me reste à prouver qu'au plus l'ordre de (ab) c'est mt...
Ca doit pas être bien méchant, je cherche..
Salut vieux,
Voici ce que je te propose:
Soit (a,b) un tel couple. Je note d l'ordre de ab.
Alors .
Ce qui prouve déjà que l'ordre de ab est inférieur à xy (mieux: d'après Lagrange, d|xy).
L'idée maintenant c'est de prouver que . Mais comme x et y sont premiers en entre eux, il suffit de prouver séparemment que
puis que
. Une vieille proposition du cours de Term spé math permet de conclure.
On a . Or
.
Ainsi , d'où il vient que
et comme
on a d'après Gauss que
.
On prouve de même (en prenant ) que
.
That's it!
Si tu veux pas la réponse mais seulement un nain dix, lis seulement les 7 premières phrases du post.
Si tu veux faire les DL de mon DM en contrepartie alors je crois qu'on eut trouver un terrain d'entente. 
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