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Elements d'ordre p (Cauchy)
Bonjour
Voici un énoncé qui permet de montrer le résultat suivant (d'après Cauchy)
Soit G un groupe fini d'ordre n et d'élément neutre e et soit p un diviseur premier de n; alors G possède un élément d'ordre p.
a) Soit . Combien d'éléments à X?
Soit H le sous-groupe cyclique de engendré par le cycle c=(1,2,...,p).
b) Montrer que H opère sur X par
c) A quelle condition (x1,...,xp) est-il un point fixe de H?
d) Conclure!
Bonjour 
a)
Soit définie par
.
Alors f est bien définie, injective et surjective, donc établit une bijection entre Gp-1 et X.
Ainsi on obtient
b)
La seule chose à vérifier est que cette application est bien définie, car les deux propriétés des opérations de groupes sont vraies par définition.
Déjà elle est bien à valeurs dans X car
Il suffit donc de voir que ce qui est vrai car par récurrence immédiate on a que
en posant
dès que
.
c)
Si est un point fixe de H, on a
dont l'ordre divise p.
d)
Il reste à remarquer que si n'est pas un point fixe de H, son orbite est de cardinal exactement p.
En effet, si ce n'était pas le cas on aurait pour un certain
.
Par le théorème de Bézout il existe u et v tels que uk + vp = 1, car k et p sont premiers entre eux, et ainsi, car
et
stabilisent
, d'où
est point fixe de H.
Ainsi on peut partitionner X en ses orbites sous l'action de H, qui sont d'après ce qui précède de cardinal égal à 1 ou p.
Comme le cardinal de K est divisible par p, le nombre d'orbites de cardinal 1 (c'est à dire de points fixes de H) l'est aussi, et comme (e,...,e) est un point fixe de H, on en déduit qu'il existe au moins un autre point fixe (x,...,x) de H.
L'ordre de x divise p et est différent de 1 (car x est différent de e) donc x est d'ordre p.
Ainsi, G possède un élément d'ordre p
Fractal 
De 1) à 3) j'aurai fait pareil que Fractal. Par contre pour la d), je mettrai un peu d'équations aux classes (pour faire zoli 
).
On a une action de Fp sur X. L'équation aux classes s'écrit alors
(les x sont en fait des représentants de classes, d'où la somme sur S qui est un système de représentants des classes modulo ladite action).
On réduit dans et là on trouve
(
représente l'ensemble des points fixes de l'action).
Soit x dans . Il est clair x est soit d'ordre 1 soit d'ordre p. D'où il vient que card(X^H^)=1+m si m est le nombre d'éléments de G d'ordre p.
Par suite, il vient que dans
et donc
.
D'où le résultat.
C'est pas aussi bien rédigé que Fractal (je suis littéralement sublimé par ta manière de rédiger, j'aimerais bien rédiger comme toi! ) mais l'idée est là.
Ayoub.
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