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elements simples seconde espece

Posté par nico38 (invité) 01-12-05 à 22:17

Bonjour,
je n'arrive pas à trouver B,C, D et E dans

1/ X(X²+X+1)² = A/X+ BX+C/X²+X+1 + DX+E/(X²+X+1)²

j'ai trouvé A = 1
comment faire ?
merci

Posté par nico38 (invité)re : elements simples seconde espece 01-12-05 à 23:03

en fait dans mon bouquin c'est mit "on réduit au même dénominateur et on identifie"

A(X²+X+1)²+(BX+C)X(X²+X+1)+X(DX+E)=1
d'ou
A=1
A+B=0 donc B=-1
2A+B+C=0 donc C= -1 et E= -1
3A+B+C+D =0
enfin 2A+C+E = 0
D=E = -1

je vois pas comment on a identifié ça...
si quelqu'un peut m'expliquer, merci d'avance

Posté par
jacques1313re : elements simples seconde espece 01-12-05 à 23:24

Je présume que pour trouver A=1, tu as multiplié l'équation par x et remplacé x par 0. Pour résoudre le reste, les astuces sont les bienvenues.
Par exemple, toujours en multipliant par x et en prenant la limite en +, on trouve A+B=0 d'où B=-1.
On sait (ou du moins on devrait...) que les solutions de X²+X+1=0 sont j=e^{\frac{2i\pi}{3}} et \overline{j} (propriété importante : 1+j+\overline{j}=0). En multipliant l'équation par (X²+X+1)² et en remplaçant x par j et son conjugué, on trouve :
D j +E=\overline{j}\\D\overline{j}+E=j d'où, après calculs, D=E=-1.
Enfin, pour calculer C, il suffit de prendre une valeur particulière, par exemple x=1 :
\frac{1}{9}=A+\frac{B+C}{3}+\frac{D+E}{9}, d'où C=-1.

Conclusion : \frac{1}{X(X^2+X+1)^2} = \frac{1}{X}- \frac{X+1}{X^2+X+1} - \frac{X+1}{(X^2+X+1)^2}.

Sauf erreurs...

Posté par
dad97 Correcteurre : elements simples seconde espece 01-12-05 à 23:27

Bonsoir,

3$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+x+1)^2}

3$=\frac{A(x^2+x+1)^2}{x(x^2+x+1)^2}+\frac{(Bx+C)x(x^2+x+1)}{x(x^2+x+1)^2}+\frac{(Dx+E)x}{(x^2+x+1)^2} mise au même dénominateur.

ce qui s'écrit :
3$\frac{Ax^4+Ax^2+A+2Ax^3+2Ax^2+2Ax+Bx^4+Bx^3+Bx^2+Cx^3+Cx^2+Cx+Dx^2+Ex}{x(x^2+x+1)^2}

3$=\frac{(A+B)x^4+(2A+B+C)x^3+(3A+B+C+D)x^2+(2A+C+E)x+A}{x(x^2+x+1)^2}

on a donc :

3$\frac{1}{x(x^2+x+1)^2}=\frac{(A+B)x^4+(2A+B+C)x^3+(3A+B+C+D)x^2+(2A+C+E)x+A}{x(x^2+x+1)^2}

En identifiant les numérateurs (coefficients devant les 3$x^4, les 3$x^3, les 3$x^2, les 3$x et les nombres) on obtient :

3$\{A+B=0\\2A+B+C=0\\3A+B+C+D=0\\2A+C+E=0\\A=1

soit \{A=1\\B=-1\\C=-1\\D=-1\\E=-1

d'où 4$\blue\fbox{\frac{1}{x(x^2+x+1)^2}=\frac{1}{x}-\frac{x+1}{x^2+x+1}-\frac{x+1}{(x^2+x+1)^2}

Salut

Posté par nico38 (invité)re : elements simples seconde espece 02-12-05 à 07:28

Merci à vous deux

Posté par nico38 (invité)re : elements simples seconde espece 03-12-05 à 10:47

rebonjour,
quelqu'un pourrait il me detailler les calculs de
\frac{i^{3}+i^{2}+2}{i+1} = Bi + C
pour trouver B=-1 et C = 0, j'y arrive pas..
merci..

Posté par nico38 (invité)re : elements simples seconde espece 03-12-05 à 12:04

c'est bon, j'ai eu le temps de trouver


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