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ellipse

Posté par RaFFoX (invité) 03-09-05 à 00:15

Bonjour,

Je pars d'une équation d'une ellipse telle que \rho=\frac{p}{1+e\,\cos{\phi}} qui est tout simplement l'équation paramétrique d'une ellipse de paramètre p dont l'origine est sur l'un des foyers.
A présent, j'ai les équations suivantes:

x=-(a\,\cos{\phi}+b\cos{(\phi+\phi_0)})\rho
y=-(a\,\sin{\phi}+b\sin{(\phi+\phi_0)})\rho

où \phi_0 est une constante fixée.

Il parait logique que cela soit les coordonnées cartésiennes définissant les points d'une autre ellipse. Avec mathématica j'obtiens une ellipse différente de la première, de même foyer et tournée d'un certain angle. Mais je me demande comment écrire mathématiquement l'équation de cette ellipse du style:
en fait j'arrive tout naturellement à
x^2+y^2=(a^2+b^2+2ab\,\cos\phi_0)\rho^2 mais après ça je ne sais pas comment faire, comment trouver l'angle d'inclinaison par exemple? Je vous remercie pour votre aide

Posté par RaFFoX (invité)re : ellipse 03-09-05 à 00:18

a et b aussi sont fixés j'ajoute.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ellipse 03-09-05 à 00:33

Bonsoir RaFFoX,est-tu certain de:
en fait j'arrive tout naturellement à x^2+y^2=(a^2+b^2+2abcos\phi_0)p^2
car cette équation n'est pas celle d'une éllipse mais plutot du cercle de centre O est de rayon p\sqrt{(a+bcos\phi_0)^2+b^2sin^2\phi_0}

Posté par RaFFoX (invité)re : ellipse 03-09-05 à 00:44

oui, il faut lire x^2+y^2=(a^2+b^2+2ab\cos\phi_0)\rho où:

\rho=\frac{p}{1+e\,\cos{\phi}}

Excuse moi, j'aurais du choisir d'autres lettres, c'est pas évident de différencier \rho  et p.
p est le paramètre de l'ellipse décrit par \rho.

Cordialement.

Posté par RaFFoX (invité)re : ellipse 03-09-05 à 01:04

On peut écrire l'ellipse de départ sous forme de coordonnées cartésiennes, si j'appelle x' et y' les coordonnées de \rho, alors:
\frac{\Big(x'+ep/(1-e^2)\Big)^2}{\Big(p/(1-e^2)\Big)^2}+\frac{y'^2}{p^2/(1-e^2)}=1

Posté par RaFFoX (invité)re : ellipse 03-09-05 à 01:52

Voici les ellipses: celle en gras est celle décrite par \rho et l'autre est celle décrite par les équations de x et y déjà citées au dessus (avec des données initiales arbitraires de a et b). C'est cette dernière dont j'aimerais bien avoir une équation et connaître entre autres l'angle d'inclinaison. Merci.


ellipse

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ellipse 03-09-05 à 02:12

Oui RaFFoX,je vois ce que tu veux dire on peut remarquer que:
\{{x=-(a+bcos\phi_0)x'-bsin\phi_{0}y'\\y=bsin\phi_{0}x'-(a+bcos\phi_0)y'
relation d'écriture matricielle:
\(x\\y\)=\(\begin{tabular}{cc}-a-bcos\phi_0&-bsin\phi_0&\\bsin\phi_0&-a-bcos\phi_0&\\\end{tabular}\)\(x'\\y'\)
C'est une similitude directe (composée d'une homothétie et d'une rotation de mm centre):
*de rapport 2$\blue\fbox{k=\sqrt{a^2+b^2+2abcos\phi_0}}
*de centre l'origine du repére(ie un foyer de l'éllipse initiale)
*et d'angle (ie l'inclinaison que tu cherches)\thetatel que
2$\blue\fbox{\{{cos\theta=\frac{-a-bcos\phi_0}{\sqrt{a^2+b^2+2abcos\phi_0}}\\sin\theta=\frac{bsin\phi_0}{\sqrt{a^2+b^2+2abcos\phi_0}}}
ainsi l'éllipse image (celle que tu as visualisée avec mathématica a mm foyer que l'éllipse initiale (puisque invariant par la similitude directe dont il est le centre)
Voilà,j'éspére que c'est bien ça sauf erreur bien entendu

Posté par RaFFoX (invité)re : ellipse 03-09-05 à 02:19

C'est magique! Merci mille fois.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : ellipse 03-09-05 à 04:07

Pour avoir une équation cartésienne de l'ellipse image tu peux remarquer que:
2$\blue\fbox{\(x'\\y'\)=\frac{1}{a^2+b^2+2abcos\phi_0}\(\begin{tabular}{cc} -a-bcos\phi_0&bsin\phi_0&\\-bsin\phi_0&-a-bcos\phi_0&\\\end{tabular}\)\(x\\y\)}
tu obtiens alors que:
2$\blue\fbox{\{{x'=\frac{1}{a^2+b^2+2abcos\phi_0}(-(a+bcos\phi_0)x+bsin\phi_{0}y)\\y'=\frac{1}{a^2+b^2+2abcos\phi_0}(-bsin\phi_{0}x-(a+bcos\phi_0)y)}
en rapportant ceci dans l'équation de l'ellipse de départ tu obtiens une equation cartésienne de l'ellipse image.Je crois que cette dernière comporte un terme en xy qui est du justement à l'inclinaison de son axe focal.


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