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ellipse

Posté par
loshleo
07-04-21 à 18:16

Bonjour,
Je cherche à écrire l'équation d'une ellipse de demi-grand axe a parallèle à x, de petit axe b parallèle à y et de centre (x0,y0).
Je dirais (x-x0)²/a²  +  (y-y0)²/b² = ?
Je ne parviens pas à écrire le terme à droite de l'égalité.
Sur wikipédia, je trouve 1 mais je ne comprends pas pourquoi.
Pouvez-m'aider ?
Merci d'avance

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 07-04-21 à 18:24

bonjour

ben c'est l'équation d'une ellipse... que veux-tu de plus ?


une équation paramétrique est :

x = x0 + a cos(t)
y = y0 + b sin(t)

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 07-04-21 à 18:27

c'est défini comment pour toi une ellipse ?

Posté par
carpediem
re : ellipse 07-04-21 à 18:29

salut

mais si tu veux tu peux mettre n'importe quel réel strictement positif k ...

et il sera toujours possible de revenir à 1 ... (mais la longueur de tes axes ne seront plus les valeurs initiales ...

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 07-04-21 à 18:31

a et b sont dans les hypothèses... donc c'est "= 1"

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 07-04-21 à 18:31

d'ailleurs il manque un mot :

c'est "... de demi petit axe b "

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 07-04-21 à 18:34

visiblement l'auteur poste une question, mais a l'air assez peu intéressé par les réponses

Posté par
loshleo
re : ellipse 07-04-21 à 19:29

Je suis intéréssé par les réponses, je rentrais juste chez moi.
C'est que je me suis dit l'équation d'un cercle est (x-x0)^2 +(y-y0)^2 = r^2
Alors pour une ellipse je voudrais remplacer r^2 par quelque chose mais je ne sais pas quoi.
Et comme par habitude, je sais que la partie x est divisée par a^2 et celle de y par b^2, je l'ai mis sous cette forme.
Pourquoi peut-on mettre quel nombre positif ? J'ai compris pour positif parce qu'un distance est positive mais pourquoi peut-on choisir n'importe quel nombre s'il est positif, cela ne devrait pas être un nombre bien définie ?

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 07-04-21 à 19:30

pour répondre à ton problème précis, c'est ...=1

mais faudrait savoir ce qu'est la définition d'une ellipse avant de parler d'équation.

Posté par
loshleo
re : ellipse 07-04-21 à 20:06

D'accord, d'après mes connaissances, une ellipse est un cercle applatit.

Il faut donc partir de mes connaissances sur les cercles.
Pour déterminer l'équarion d'une figure, il faut connaitre sa/ses caractéristique(s), ici: la coordonné de son centre et son rayon puis on place les variables par rapport au repère créé (est-ce que le raisonnement est correct ?)
Il faut donc trouver une relation liant x, x0, y, y0 et r.
On se place sur une point quelconque du cercle et d'après le théorème de Pythagore on peut écrire:
L'équation d'un cercle de rayon r et de centre (x0,y0) est (x-x0)2 + (y-y0)^2 = r2
Mais aussi on peut utiliser un système équation paramétrique: (t étant l'angle que forme le segment de l'origine au point quelconque avec l'horizontale)
{x=x0+r cos t
{y=y0+r sin t

Par ma connaissance qu'une ellipse est un cercle applatit, je voudrais son équation.
J'effectue alors le même raisonnement que précédemment: je cherche une relation liant x xo y yo a et b:
D'après wikipédia:
((x-x0)/a)2 + (y-y0)/b)2 = 1
Revenons au cercle: a=b=r donc je trouve bien la même équation que précédemment.
Mais je n'arrive pas à trouver le raisonnement pour pouvoir marquer cette équation

Posté par
loshleo
re : ellipse 07-04-21 à 20:28

Pour être clair, quand je place un point quelconque sur l'ellipse, je créé un triangle rectangle donc les deux côtés touchant l'angle droit sont x-x0 et y-y0 et j'aimerai bien exprimée si c'est possible l'hypothénuse en fonction de a et de b mais je n'y arrive pas

Posté par
Ulmiere
re : ellipse 07-04-21 à 21:01

Ton ellipse est l'image par une affinité de d'un cercle. Avec des mots : tu prends le cercle de rayon a, tu ne touches pas sur l'axe des abscisses, mais tu le compresses en ordonnées d'un facteur b/a.

C'est à dire que l'ellipse (de centre 0) de demi-grand/petit axes a et b est


E = \{(x,(b/a)y) | (x,y)\in C(0,a)\} = \{(a\cos\theta,(b/a)a\sin\theta) | \theta\in[0,2\pi)\} =  \{(a\cos\theta,b\sin\theta) | \theta\in[0,2\pi)\} en utilisant la paramétrisation habituelle du cercle u\in[0,2\pi]\mapsto \exp(iu).

Si (u,v) est un point de E, il vérifie u²/a² + b²/a² = 1.
Réciproquement, si (u,v) est un couple de réels tels que u²/a²+v²/b² = 1, alors (ub)²+(va)² = (ab)². Donc (ub,va)\in C(0,ab) et donc il existe un angle \theta\in[0,2\pi) tel que ub = ab\cos\theta et va = ab\sin\theta. Donc (u,v)\in E.

Il faut aussi traiter les cas dégénérés ou a et b peuvent être nuls, mais àa tu dois savoir le faire sans problème normalement

Posté par
loshleo
re : ellipse 08-04-21 à 08:26

D'accord, merci pour l'explication, je pense que c'est un peu plus clair

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 08-04-21 à 10:24

en fait, il y a plusieurs définitions historiques de l'ellipse, évidemment équivalentes.

La notion d'équation n'est venue que bien plus tard dans l'histoire des sciences.

définition 1 (historique) :  un cas particulier de l'ensemble des coniques : intersection d'un cône avec un plan (parabole / hyperbole / ellipse)
ellipse
c'est aussi l'intersection d'un cylindre avec un plan non parallèle à l'axe.

définition 2 (usuelle) : : étant donné un réel e>0, une droite D et un point F n'appartenant pas à D une conique est l'ensemble des points M tels que MF = e d(M,D)

F s'appelle un foyer et D la directrice associée au foyer F

l'ellipse est le cas particulier où 0 < e < 1

mise en équation : (dans le cas de l'ellipse)

en prenant le repère(F,i,j) orthonormé tel que D a pour équation x=d

MF² = e² d(M,D)² donne :

x² + y² = e² (x-d)²

après calcul (un peu lourdingues), regroupement, mise sous forme canonique des carrés, on obtient :

\dfrac{(x-x_0)^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

avec

x_0 = -\; \dfrac{e^2d}{1-e^2}

a=\dfrac{ed}{1-e^2}

b = \dfrac{ed}{\sqrt{1-e^2}}

ce qui donne le centre (x0 ; 0} dans ce repère et ses paramètres (petit et grand axe)

un système d'équations paramétriques s'en déduit avec du cosinus et du sinus vu qu'on a deux nombres dont la somme des carrés vaut 1

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 08-04-21 à 10:50

ce que dit Ulmiere est une conséquence de cela...

une fois l'équation obtenue, on montre qu'il y a une autre foyer F', symétrique de F par rapport au centre de l'ellipse, associé à une autre directrice (symétrique de D).

on montre aussi que l'ellipse est l'ensemble des points tels que la somme des distances aux foyers (F et F') est constante (définition bifocale). Ce qui permet de la tracer par la méthode du jardinier

ellipse

on montre aussi une propriété mirifique de l'ellipse : la tangente en M est bissectrice extérieure de l'angle (MF ; MF')... ce qui veut dire que dans billard elliptique, si 2 billes sont placées aux foyers, on peut en frapper une (sans effet) dans n'importe quelle direction, elle ira, après une bande, choquer l'autre.

ellipse

Posté par
Pirho
re : ellipse 08-04-21 à 11:11

Bonjour,

une vieille démo   un peu "lourde"  

mais je préfère celle de matheuxmatou (post 07-04-21  à 18h24)

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 08-04-21 à 11:14

en fait ce qu'on appelle la "définition bifocale" est plutôt une conséquence de la définition géométrique historique...

mais bon, comme souvent en math on peut permuter les notions de "définition" et de "propriétés" qui en découlent

Posté par
lafol Moderateur
re : ellipse 08-04-21 à 19:39

Bonjour
pour "retrouver" la valeur de 1, loshleo aurait pu se poser la question des points "extrêmes" : si on veut les demi axes indiqués, on doit avoir les points (x_0+a; y_0) et (x_0; y_0+b) sur l'ellipse
en remplaçant dans son début d'équation, il aurait retrouvé son 1

Posté par
lafol Moderateur
re : ellipse 08-04-21 à 19:41

La propriété "mirifique" de l'ellipse est celle qui fait que dans les stations de métro parisiennes, on entend distinctement quelqu'un qui parle sans hausser le ton sur le quai d'en face, si on est (et le quidam aussi ) au bon endroit du quai
C'est aussi celle qui permet de griller une saucisse de tous les côté avec une seule résistance chauffante et sans faire tourner la saucisse

Posté par
loshleo
re : ellipse 09-04-21 à 07:11

Merci ! Je vais regarder ça plus tard, tête reposée

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 09-04-21 à 10:14

lafol

exact. d'ailleurs cela m'est arrivé de subie l'expérience du métro alors que j'étais seul sur un quai au point focal et d'entendre deux personnes qui parlaient sur le quai opposé pile poil à l'autre point focal... comme si elles me chuchotaient à l'oreille ! l'effet est surprenant.

cette propriété est connue depuis longtemps et a même été utilisée pour confesser des pestiférés en évitant tout contact physique :

ellipse

Posté par
alb12
re : ellipse 09-04-21 à 10:57

salut,
interessante distanciation pour se passer de masques

Posté par
Ulmiere
re : ellipse 09-04-21 à 11:21

Faites attention vous aller donner des idées à nos gentils politiques pleins de bon sens

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 09-04-21 à 11:27

ils sont spécialistes des discours elliptiques

Posté par
Ulmiere
re : ellipse 09-04-21 à 11:28

Et surtout du raisonnement par l'absurde. Mais sans le raisonnement

Posté par
lafol Moderateur
re : ellipse 09-04-21 à 17:22

il me semble que ça a été utilisé dans un film d'espionnage, aussi, mais alors me rappeler lequel ...
j'ai aussi pu vérifier personnellement, une fois où un poivrot grommelait en face, je ne sais plus quelle réflexion j'ai faite mezzo voce à son sujet à mon voisin, le bougre a tout entendu comme si je lui avais chuchoté à l'oreille ! il s'est mis dans une rage !

Posté par
matheuxmatou
re : ellipse 09-04-21 à 17:40

faut se méfier des maths lafol

Posté par
larrech
re : ellipse 09-04-21 à 18:08

Bonjour,

J'en étais resté au billard français classique, faudra que j'essaie l'elliptique; le point du début avec les billes aux foyers, immanquable à condition de ne pas mettre d'effet



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