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Niveau maths sup
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ellispse

Posté par XXXX (invité) 02-01-04 à 04:03

bonjour svp

pouvez vous m'expliquer comment faire svp c'est trop implicite
pour moi je vois pas du tout


Soit M un point d'une ellipse de grand axe (AN) et de petit axe (BB')
et de centre 0. Montrer que la somme des carrés des aires des triangles
OMA et OMB est constante.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : ellispse 02-01-04 à 14:02

En posant |AN| = 2a et |BB'| = 2b.
En choisissant l'axe des abscissses sur le grand axe de l'ellipse
et l'axe des ordonnées sur le petit axe de l'ellipse, l'équation
de l'ellipse est :

(x²/a²)  + (y²/b²) = 1

Soit M(X ; Y)

Aire(AOM) = (1/2).OA.|X|
Aire(BOM) = (1/2).OB.|Y|

S = [Aire(AOM)]² + [aire(BOM)²] = (1/4).(OA².X² + OB².Y²)

OA = b et OB = a

S = (1/4)(b²X² + a².Y²)

Comme M est sur l'ellipse, on a:

X²/a² + Y²/b² = 1

b²X² + a²Y² = a²b².
b²X² = a²b² - a²Y²
X² = a² - (a²/b²)Y²

S = (1/4).(b²a² - b²(a²/b²)Y² + a²Y²)
S = (1/4).(b²a² - a²Y² + a²Y²)
S = (a²b²)/4
Qui est indépendant de la position de M sur l'ellipse.

S est une constante pour une ellipse donnée.
-----
Sauf distraction.



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