En posant |AN| = 2a et |BB'| = 2b.
En choisissant l'axe des abscissses sur le grand axe de l'ellipse
et l'axe des ordonnées sur le petit axe de l'ellipse, l'équation
de l'ellipse est :

(x²/a²)  + (y²/b²) = 1

Soit M(X ; Y)

Aire(AOM) = (1/2).OA.|X|
Aire(BOM) = (1/2).OB.|Y|

S = [Aire(AOM)]² + [aire(BOM)²] = (1/4).(OA².X² + OB².Y²)

OA = b et OB = a

S = (1/4)(b²X² + a².Y²)

Comme M est sur l'ellipse, on a:

X²/a² + Y²/b² = 1

b²X² + a²Y² = a²b².
b²X² = a²b² - a²Y²
X² = a² - (a²/b²)Y²

S = (1/4).(b²a² - b²(a²/b²)Y² + a²Y²)
S = (1/4).(b²a² - a²Y² + a²Y²)
S = (a²b²)/4
Qui est indépendant de la position de M sur l'ellipse.

S est une constante pour une ellipse donnée.
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Sauf distraction.