Une entreprise emprunte une somme de 20 000€ remboursable sur 10 ans, au taux semestriel de 2%, par semestrialité constante de 2 227€. L'emprunt à été accordé le 1er janvier 2003 et la première échéance aura lieu le 30 juin 2003"

C0=20 000 capital emprunté
10 ans= 20 semestres = 20 annuités constantes  
versement termes échus
annuité constante= 2 227
i=0.02

C0 c'est la valeur actuelle de la somme des n annuités  à l'origine de la période. Si on considère que les versements se font en fin de semestres (fin de période) et l'origine de l'évaluation en début

Le principe de l'actualisation revient à répondre à la question "que vaut maintenant en t0 une somme versée plus tard.
premiere annuité  valeur actuelle = a(1+i)^-1
deuxième annuité valeur actuelle= a(1+i)^-2


nième annuité valeur actuelle= a(1+i)^n
20ème annuité valeur actuelle=a (1+i)^20

C0= A    + A     A               A
   -----  ---- + ------ +-----+----  
    1+i   (1+i)² (1+i)^3        (1+i)^20

On reconnait une progression géométrique de 20 termes
dont le premier est A(1+i)^-1 et la raison (1+i)^-1
ou encore il s'agit d'une progession géométrique de ier terme A(1+i)^-20 et la raison (1+i)
                (1+i)^20-1
C0= A(1+i)^-20* ----------
                (1+i)-1  
= A (1-(1+i)^-20)
----------------
              i

i=0.02
1+i=1.02
1,02^20=1,485947396
1.02^-20= 0,672971333
1-(1.02)^-20=0,327028667
1-(1.02)^-20
-------------= 16,35143334
0.02

20000/16.35143334=1223.1346

en principe
alors que l'on aurait du trouver A= 2227
En revanche, si je calcule sur 10 annuités, c'est à dire 10 semestres ie 5 ans et non 10 ans

i=0.02
1+i=1.02
1,02^10=1,21899442

1.02^-10= 0,8203483
1-(1.02)^-10=0,1796517

1-(1.02)^-20
-------------= 8,982585006
0.02

Co/8.982585006=A
20000/8.982585006=A
2226,530557

En revanche, là où je ne suis pas d'accord c'est que la solution A=2227 est valable uniquement sur un remboursement semestriel selon 10 annuités ie sur 5 ans et non sur 10 ans affiché dans l'énoncé

dans l'énoncé 10 ans; 20 semestres
annuité= 1223

         (1+i)^n           2227: (1+i)^n
2227 1,02          2183,333333  1 SEM
2227 1,0404          2140,522876  2 SEM
2227 1,061208          2098,551839  3
2227 1,08243216 2057,403764  4
2227 1,104080803 2017,062513  5
2227 1,126162419 1977,512268  6
2227 1,148685668 1938,737518  7
2227 1,171659381 1900,723057  8
2227 1,195092569 1863,453977  9
2227 1,21899442 1826,915664  10
                         somme 20004,21681

vérification avec tableau excel

annuité 1,02^n 2227/1,02^n total semestre n
2227 1,02 2183,333333 1
2227 1,0404 2140,522876 2
2227 1,061208 2098,551839 3
2227 1,08243216 2057,403764 4
2227 1,104080803 2017,062513 5
2227 1,126162419 1977,512268 6
2227 1,148685668 1938,737518 7
2227 1,171659381 1900,723057 8
2227 1,195092569 1863,453977 9
2227 1,21899442 1826,915664 20004,21681 10
2227 1,243374308 1791,093788 11
2227 1,268241795 1755,974302 12
2227 1,29360663 1721,543433 13
2227 1,319478763 1687,78768 14
2227 1,345868338 1654,693804 15
2227 1,372785705 1622,248827 16
2227 1,400241419 1590,440027 17
2227 1,428246248 1559,254928 18
2227 1,456811173 1528,681302 19
2227 1,485947396 1498,707159 36414,64206 20

on voit que rembourser 2227 pendant 20 annuités (20 semestres =10 ans) revient à rembourser 36 414.64
soit 36 414.64-20004,21681 de trop
le banquier s'est peut-être trompé en faisant le plan de remboursement

annuité 1,02^n 2227/1,02^n total semestre n
1223,14 1,02 1199,156863 1
1223,14 1,0404 1175,643983 2
1223,14 1,061208 1152,59214 3
1223,14 1,08243216 1129,992294 4
1223,14 1,104080803 1107,835583 5
1223,14 1,126162419 1086,113316 6
1223,14 1,148685668 1064,816977 7
1223,14 1,171659381 1043,938213 8
1223,14 1,195092569 1023,468836 9
1223,14 1,21899442  1003,40082 10986,95902 10
1223,14 1,243374308 983,7262936 11
1223,14 1,268241795 964,4375428 12
1223,14 1,29360663  945,5270027 13
1223,14 1,319478763 926,9872576 14
1223,14 1,345868338 908,8110368 15
1223,14 1,372785705 890,9912126 16
1223,14 1,400241419 873,5207967 17
1223,14 1,428246248 856,3929379 18
1223,14 1,456811173 839,6009195 19
1223,14 1,485947396 823,1381564 20000,09218 20

Alors que si on rembourse 1223.14 pendant 20 semestres, on rembourse bien 20 000 euros.