lors de ton étude des variations de f et de g, dans ton tableau, complète les images aux bornes
l'encadrement va alors être évident à mon avis

salut

pour f(x) on a:
f(0) = 0
et f(1) = 0.3678.....

pour g(x) on a :
g(0) = 0
et g(1) = 0.13

mais je ne sais pas comment utiliser ca pour encadrer e^-x

salut,
"on a f'(0)<f'(1) donc f'(x) positive" dis-tu. Comment justifier ce donc ?

j'ai calculer f'(0) = 0 et f'(1) = 0.3678
comme 0 et 1 sont les bornes de l'intervalle et que la fonction e^(-x) est strictement croissante f'(x) est positive sur l'intervalle.
c'est pas ça ?

x->e^-x est decroissante
x->1-e^-x est effectivement croissante

je pense qu'il y a confusion entre f et f' ...

pour le signe de f' il vaut peut etre mieux resoudre 1-e^-x>=0
c'est moins astucieux mais plus generalisable

Je trouve :
e^-x1

Doit-on faire la même chose pour g'(x) ?

non on remarque que g'=f

Ça j'avais remarqué mais je vous avouerais que je suis complètement perdu quand même.
J'aimerais savoir les étapes pour accéder à cet encadrement ?

avec f' tu as les variations de f puis le signe de f
g'=f donc tu as le signe de g' puis les variations de g puis son signe

Donc je dit que f'(x) > 0 sur I donc f(x) croissante sur I
f(0) = 0 comme elles est croissante le signe de f(x) est positif sur I
Comme f(x) = g'(x)
On a g'(x) > 0 donc g(x) croissante
g(0) = 0 comme elles est croissante le signe de g(x) est positif sur I

oui, aux imperfections de rédaction près

donc

f(x) > 0 soit e^-x+x-1 > 0 d'où ...

et g(x) > 0 soit 1-x+(x²/2)-e^-x > 0 soit...
et tu obtiens ta double inégalité attendue

D'ou
x+1 > -e^-x 1-x < e^-x

Et
1-x+(x²/2)-e^-x > 0 e^-x < 1-x+(x²/2)

Donc

1-x < e^-x < 1-x+(x²/2

une erreur de recopie à la 1re ligne
mais voilà, c'est fait

Merci pour votre aide

de rien, je t'en prie