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encadrement

Posté par
Dohko
04-06-19 à 20:13

bonjour, j'ai a étudier sommairement les variation de f et g sur I = [0;1] avec :
f(x) = e-x+x-1 et g(x) = 1-x+(x²/2)-e-x
puis en déduire que, pour tous réels x de [0;1] on a :

1-x e-x 1-x+(x²/2)

J'ai commencer par dire que f(x) et g(x) sont dérivables sur [0;1] donc elles sont continues.

f'(x) = 1-e-x
sur [0;1], avec 0<1 on a f'(0)<f'(1) donc f'(x) positive sur I et f(x) croissante sur I

g'(x) = x + e-x -1
sur [0;1], on a g'(0)<g'(1) donc g'(x) positive sur I et g(x) croissante sur I

par contre pour en déduire l'encadrement je ne vois pas comment m'y prendre ?

la suite est :
déduire de la question précédente un encadrement de e-x , pour tous réel x de I, puis montrer que, pour tous réel x de I, on a :
1-x (e-x²)/(1+x) 1-x+((x4)/2(1+x))

merci d'avance pour votre aide.

Posté par
malou Webmaster
re : encadrement 04-06-19 à 20:18

lors de ton étude des variations de f et de g, dans ton tableau, complète les images aux bornes
l'encadrement va alors être évident à mon avis

Posté par
carpediem
re : encadrement 04-06-19 à 20:18

salut

Citation :
J'ai commencer par dire que f(x) et g(x) sont dérivables sur [0;1] donc elles sont continues.
certes !!! mais comment sais-tu qu'elles sont dérivables ?

ben vu que tu travailles sur l'intervalle borné [0, 1] et vu la monotonie des fonctions peut-être serait-il judicieux de calculer les images de ces bornes ...

Posté par
Dohko
re : encadrement 05-06-19 à 16:07

pour f(x) on a:
f(0) = 0
et f(1) = 0.3678.....

pour g(x) on a :
g(0) = 0
et g(1) = 0.13

mais je ne sais pas comment utiliser ca pour encadrer e-x

Posté par
alb12
re : encadrement 05-06-19 à 16:37

salut,
"on a f'(0)<f'(1) donc f'(x) positive" dis-tu. Comment justifier ce donc ?

Posté par
Dohko
re : encadrement 05-06-19 à 17:10


j'ai calculer f'(0) = 0 et f'(1) = 0.3678
comme 0 et 1 sont les bornes de l'intervalle et que la fonction e^(-x) est strictement croissante f'(x) est positive sur l'intervalle.
c'est pas ça ?

Posté par
alb12
re : encadrement 05-06-19 à 17:48

x->e^-x est decroissante
x->1-e^-x est effectivement croissante

Posté par
carpediem
re : encadrement 05-06-19 à 17:58

je pense qu'il y a confusion entre f et f' ...

Posté par
alb12
re : encadrement 05-06-19 à 18:06

pour le signe de f' il vaut peut etre mieux resoudre 1-e^-x>=0
c'est moins astucieux mais plus generalisable

Posté par
Dohko
re : encadrement 09-06-19 à 13:39

Je trouve :
e-x1

Doit-on faire la même chose pour g'(x) ?

Posté par
alb12
re : encadrement 09-06-19 à 13:45

non on remarque que g'=f

Posté par
Dohko
re : encadrement 09-06-19 à 13:49

Ça j'avais remarqué mais je vous avouerais que je suis complètement perdu quand même.
J'aimerais savoir les étapes pour accéder à cet encadrement ?

Posté par
alb12
re : encadrement 09-06-19 à 14:04

avec f' tu as les variations de f puis le signe de f
g'=f donc tu as le signe de g' puis les variations de g puis son signe

Posté par
Dohko
re : encadrement 09-06-19 à 14:22

Donc je dit que f'(x) > 0 sur I donc f(x) croissante sur I
f(0) = 0 comme elles est croissante le signe de f(x) est positif sur I
Comme f(x) = g'(x)
On a g'(x) > 0 donc g(x) croissante
g(0) = 0 comme elles est croissante le signe de g(x) est positif sur I

Posté par
malou Webmaster
re : encadrement 09-06-19 à 14:34

oui, aux imperfections de rédaction près

donc

f(x) > 0 soit e-x+x-1 > 0 d'où ...

et g(x) > 0 soit 1-x+(x²/2)-e-x > 0 soit...
et tu obtiens ta double inégalité attendue

Posté par
Dohko
re : encadrement 09-06-19 à 14:47

D'ou
x+1 > -e-x 1-x < e-x

Et
1-x+(x2/2)-e-x > 0 e-x < 1-x+(x2/2)

Donc

1-x < e-x < 1-x+(x2/2

Posté par
malou Webmaster
re : encadrement 09-06-19 à 15:46

une erreur de recopie à la 1re ligne
mais voilà, c'est fait

Posté par
Dohko
re : encadrement 09-06-19 à 16:13

Merci pour votre aide

Posté par
malou Webmaster
re : encadrement 09-06-19 à 16:57

de rien, je t'en prie



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