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encadrement d'une focntion fractionnelle

Posté par
biancazachary
25-07-23 à 13:42

Salut ! une question basique est la suite : soit f une application de R-{1} à R qui lie à chaque x de l'ensemble de départ (x+1)/(x-1) dans R
On cherche à trouver l'image directe de l'intervalle [3;5]
je fais un encadrement simple comme suit : (je me contente d'un encadrement stricte car je ne sais pas comment ajouter l'égalité)
3<x<5 => 2<x-1<4 et 4 <x+1< 6 => 1/4 < 1/x-1 < 1/2 et 4 < x+1 < 6
=> 1 < x+1/x-1 < 3
on arrive à ce résultat (qui me semble juste) mais lorsque je transforme l'expression x+1/x-1 à 1 + 2/x-1 et je refait l'encadrement je trouve que l'expression appartient à l'intervalle [3/2;2] qui est la réponse juste et je trouve le même résultat en utilisant la monotonie de la fonction ou' est ma faute ???

Posté par
hekla
re : encadrement d'une focntion fractionnelle 25-07-23 à 13:58

Bonjour

1\leqslant \dfrac{3}{2}\leqslant\dfrac{x+1}{x-1}\leqslant 2\leqslant 3

Il n'y a pas de contradiction
En utilisant la décomposition 1+\dfrac{2}{x-1}   vous avez un résultat plus précis en évitant une multiplication par des éléments peu précis.

Posté par
carpediem
re : encadrement d'une focntion fractionnelle 25-07-23 à 14:22

salut

ne pas oublier les parenthèses : f(x) = (x + 1)/(x - 1)

si on pose g(x) = x + 1 et h(x) = x - 1 alors il est difficile (voire même parfois impossible) de donner un encadrement par simple encadrement du numérateur et du dénominateur en particulier quand les fonctions g et h n'ont pas même variation

et là tu as de la chance que ça marche !!

comme le montre la forme canonique f(x) = 1 + 2/(x - 1) qui permet de voir immédiatement que la fonction est décroissante et te donne donc l'encadrement "maximal" (le plus performant ou le plus fin)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : encadrement d'une focntion fractionnelle 25-07-23 à 17:48

Bonjour,
Je complète les réponses données :
Déterminer une image directe n'est pas la même chose que trouver un encadrement.
Tu as trouvé ceci : si 3 x 5 alors 1 f(x) 3.
C'est juste ; mais ça ne permet pas d'en déduire l'image directe cherchée.
Ça signifie seulement que l'image directe de [3;5] est incluse dans [1;3].
f(x) n'est jamais égal à 1 par exemple.

Travailler sur des intervalles où la fonction est continue et monotone permet de trouver minimum et maximum de la fonction. Puis d'en déduire l'intervalle image.

PS Pour écrire "", il y a le bouton "" sous la zone de saisie



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