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Encadrement d'une Suite

Posté par
yassineben200
21-03-21 à 21:49

Bonsoir, j'ai essayé plusieurs fois avec cet exercice mais j'ai rencontrer plusieurs lacunes..

on considère une fonction définie par : Un=\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^{n}{arctan(\frac{2n}{\sqrt{4n^2-k^2}})}

1)Montrer que (n*)  0<Un</4
2) Montrer que la suite Un est convergente et determiner sa limite

1) pour la premiere question j'ai essayer de faire une récurrence mais j'ai eu du mal à
mq P(n+1) est vrai et j'ai meme essayer de faire un encadrement mais est un peu difficile de mq Un</4
2) pour étudier la monotonie de la suite j'ai essayer de calculer Un+1-Un mais j'ai pas comment écrire l'expression de Un+1 pour cela:
(est-ce qu'on doit remplacer tout les n par n+1.. même les n à l'intérieur de la somme)

merci d'avance

Posté par
lake
re : Encadrement d'une Suite 21-03-21 à 22:07

Bonsoir,

1) Ta suite n'est pas définie par récurrence. Ici, une récurrence n'est pas une bonne idée.
Je pense qu'il est facile de montrer qu'elle est positive.
Tu peux majorer l'argument des arctan par 1 et en déduire une majoration.

2) As-tu entendu parler des "sommes de Riemann" ?

Posté par
yassineben200
re : Encadrement d'une Suite 21-03-21 à 22:09

lake oui j'allais utiliser les sommes de riemann pour la limite mais pour montrer que la suite est convergente il faut que je montre d'abord qu'elle est monotone.. comment faire?

Posté par
lake
re : Encadrement d'une Suite 21-03-21 à 22:15

C'est la question "qui tue".

Laisse moi un peu de temps pour te répondre ....

Posté par
lake
re : Encadrement d'une Suite 21-03-21 à 22:40

Bon, j'ai un petit doute : ta somme n'irait pas jusqu'à {\red 2}n au lieu de n ?

Posté par
lake
re : Encadrement d'une Suite 21-03-21 à 22:45

Oublie : je me suis trompé .

Posté par
lake
re : Encadrement d'une Suite 21-03-21 à 22:57

Je reprends la question 1):

  avec x\geq 0,  0\leq\arctan\,x\leq \dfrac{\pi}{2}

tu en déduis l'encadrement demandé.

2) Je continue à réfléchir ...

Posté par
yassineben200
re : Encadrement d'une Suite 22-03-21 à 03:15

merci pour votre réponse .. est-ce qu'on ne peux pas montrer qu'elle est convergente sans étudier sa monotonie ou bien utiliser les intégrales vue que c'est la 2eme partie d'un exercice

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Encadrement d'une Suite 22-03-21 à 06:41

Bonjour,
Si c'est la deuxième partie d'un exercice, tu pourrais peut-être recopier l'énoncé de la première partie.
A moins que tu considères que c'est confidentiel

Posté par
yassineben200
re : Encadrement d'une Suite 28-03-21 à 21:08

Bonsoir, excusez moi de ne pas avoir répondu, voici la réponse pour ceux intéressés aux future,

pour mq la suite est convergente on va calculer sa limite à l'aide de la somme de rienmann sans étudier la monotonie

Posté par
lake
re : Encadrement d'une Suite 28-03-21 à 23:54

Bonsoir,

  Le moins qu'on puisse dire c'est que ton "énoncé" est peu clair.
De toute manière, si on passe par une somme de Riemann, on obtient :

  \begin{aligned}\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=\dfrac{1}{2}\,\int_0^1\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{4}}}\right)\,\text{d}x\end{aligned}

Même en utilisant \arctan X+\arctan\dfrac{1}{X}=\dfrac{\pi}{2} pour X>0, on arrive bien à un résultat mais c'est "coton", en tout cas pas vraiment présentable en terminale.

J'ai peut-être loupé quelque chose ...



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