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Encadrer la fonction tangente

Posté par
zartos 31-12-16 à 01:44

Salut,

Comme l'indique le titre, quelqu'un a-t-il une méthode générale pour encadrer la fonction tangente?

Voici un exemple de mon exo:

Ce qui est déjà démontré:

• f la fonction définie sur + par f(x) = \sqrt{\frac{4x}{1 + x}}

•f'(x) = \frac{2}{(1 + x)^2 \sqrt{\frac{4x}{1+x}}}

• f est bijective sur [0 , 2] tel que:

f^{-1}(x) = \frac{x^2}{4 - x^2}

• h la fonction définie sur [0 , \frac{\pi}{2}[ par:

h(x) = f^{-1}(2sinx)

• h(x) = tg^{2}x

• h'(x)= 2tgx( 1 + tg^{2}x )

Montrer en utilisant le théorème des accroissements finis que pour tout x de [ 0 , \frac{\pi}{3}] on a:

x tgx 4x

Merci d'avance.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Encadrer la fonction tangente 31-12-16 à 11:21

Bonjour,

L'énoncé te dit quoi faire : applique le théorème des accroissements finis, ici sur [0;x].

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Encadrer la fonction tangente 31-12-16 à 11:22

( l'appliquer à la fonction tangente )

Posté par
zartosre : Encadrer la fonction tangente 31-12-16 à 12:12

Mais il faut encadrer h'(x) d'abord non?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Encadrer la fonction tangente 31-12-16 à 12:19

Je pense que tu n'as pas besoin de h ou h'.

Si x = 0, la double-inégalité à démontrer est vérifiée de façon évidente.

Soit maintenant x\in\left]0;\dfrac \pi 3\right]

Applique le théorème des accroissements finis à la fonction tangente, sur [0;x]

Posté par
zartosre : Encadrer la fonction tangente 31-12-16 à 17:00

Ah oui c'est plus clair maintenant merci!

Posté par
zartosre : Encadrer la fonction tangente 31-12-16 à 18:32

On me demande après :

• En déduire que pour tout x [ 0,1] on a x^2 h(x) 16x^2 (Évident)

• Soit W_n la suite définie sur * par:

W_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{cos^2(\frac{\sqrt{k}}{n})}

Montrer que:

n + \frac{n + 1}{2n} W_n n + \frac{8(n + 1)}{n}

Alors à première vue on remarque, en posant g(x) = tanx que:

\frac{1}{cos^2(\frac{\sqrt{k}}{n})} = g'(\frac{\sqrt{k}}{n}).

or 1 g'(x) 4

Je sens que je suis sur la bonne voie mais je ne sais plus quoi faire.

Posté par
zartosre : Encadrer la fonction tangente 31-12-16 à 18:37

zartos @ 31-12-2016 à 18:32


1 g'(x) 4


1 g'(x) 4

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Encadrer la fonction tangente 31-12-16 à 19:12

W_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\cos^2 \dfrac{\sqrt{k}}{n} }

Ceci s'écrit encore :

W_n = \sum_{k=1}^n \left( 1 + \tan^2 \dfrac{\sqrt{k}}{n} \right)

W_n = n + \sum_{k=1}^n \tan^2 \dfrac{\sqrt{k}}{n}

Pour montrer le résultat demandé, il suffit de montrer que :

\dfrac{n+1}{2n} \le \sum_{k=1}^n \tan^2 \dfrac{\sqrt{k}}{n} \le \dfrac{8(n+1)}{n}

\dfrac{n+1}{2n} \le \sum_{k=1}^n h\left( \dfrac{\sqrt{k}}{n} \right) \le \dfrac{8(n+1)}{n}

Applique la question précédente.

Posté par
zartosre : Encadrer la fonction tangente 31-12-16 à 19:47

Merci beaucoup !! Et Bonne fin d'année

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Encadrer la fonction tangente 31-12-16 à 21:16

Je t'en prie. A toi aussi.


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