Bonjour, karim et Camélia

karim, ce que tu as démontré (et bien démontré), c'est que deux éléments quelconques u et v de F avaient une base commune de diagonalisation (cete base dépendant de u et v).
Mias cela ne prouve pas qu'il existe une base B dans laquelle tout élément de F a une matrice diagonale.

Bonjour perroquet.
J'ai cru comprendre qu'il a commencé par choisir une base adaptée à un u fixé et qu'ensuite il a montré qu'elle est bonne pour tout v. Mais si tu ne l'as pas vu comme ça, ça prouve au moins que la rédaction n'est pas assez précise!

Ce n'est pas exactement ce qu'il a fait: à partir d'une décomposition de E en somme de sous-espaces propres de u, il construit une base de E adaptée à cette décomposition, formée de vecteurs propres de v: cette base dépend donc à la fois de u, puisque les vecteurs sont choisis dans des sous-espaces propres de u, et de v, puisque les vecteurs choisis sont des vecteurs propres de v.
Je ne pense pas qu'on puisse adapter ce raisonnement, de manière à obtenir le résultat demandé (mais je peux me tromper ).

Bonsoir Camélia et Perroquet ,
si vous avez une idée pouvez vous m'éclairer ?
Autre question : pourquoi est ce que si j'ai un endomorphisme u d'un un C ev, qui stabilise un sev W alors il admet forcément un vecteur propre dans W ?

Salut karim,

pour ta deuxieme question, il y a une démo classique par récurrence sur la dimension n de l´espace de départ.

Si c´est vrai pour tout espace de dimension inférieure ou égale a n, soit E de dimension n+1 et u un endomorphisme de E stabilisant un sev F de E de dimension k strictement positive.

Raisonne sur la transposée ^tu de u et utilise le fait qu´il stabilise l´espace F des formes linéaires qui s´annulent sur F.Cet espace est de dimension n+1-k qui est un entier strictement inférieur a n, on peut donc appliquer l´hypothese de récurrence, puis revenir a u.Je te laisse terminer.

Bonjour a tous,

je viens de lire la démonstration de karim (hier je n´avais pas eu le temps) et j´ai l´impression, contrairement a Camélia et perroquet, qu´elle ne prouve absolument rien (mais je peux me tromper bien sur! )

En effet, je ne crois pas que le fait que la restriction de v a E_i soit diagonalisable entraine que les vecteurs x_j de la base adoptée pour u sur E_i sont aussi des vecteurś propres de v, si?!

Tout ce qu´on peut dire a partir de ce qui a été écrit, me semble-t-il, c´est que le fait que v et u commutent entraine que les vecteurs v(x_j) sont encore des vecteurs propres pour u associés a la meme valeur propre.



Par rapport a ce que j´ai proposé hier a karim, ca ne marche pas tout-a-fait comme je l´ai proposé, mais je crois que l´idée est la bonne, je regarde ca a nouveau.