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Encore des suites
Bonjour à tous,
J'ai encore un problème de suite, il est en deux parties, voici déjà la première:
On suppose connu les résultats suivants :
- Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante et un-vn tend vers 0 quand n tend vers + l'infini.
- Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) et croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à IN, on a:
Un Vn
- Toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.
Démontrer alors la proposition suivante :
"Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite"
Je sais pas par où commencer, je sais même pas ce que signifie : " adjacente"...
Merci
On considère (un), définie sur IN dont aucun terme n'est nul
On définit alors la suite (vn) sur IN par vn=(-2)/un
Pour chaque proposition, indiquer si c'est vrai ou faux et proposer une démo,stration pour la réponse indiquée.
(Si c'est faux, on fait un contre-exemple)
1. Si (Un) est convergente, alors (Vn) est convergente.
2.Si 5un) est minorée par 2, alors (Vn) est minorée par 1.
3. Si (Un) est décroissante, alors (Vn) est croissante.
4.Si(Un) est divergente, alors (Vn)converge vers 0.
Partie 2:
Si (un) est convergente, cela signifie
Soit l un réel, tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Si (un) converge vers l, Vn = -2/l, donc (Vn) converge aussi.
Est-ce que c'est bon comme raisonnement ?
Partie 2, 3
Si (Un) est décroissante, alors (Un+1) est inférieur ou égal à (Un)donc,
(Vn)=-2/Un+1 est supérieur ou égal à Vn=-2/Un, donc Vn est croissantez. ...??
Partie 2, 4
Si(Un) est divergente, (Vn)=-2/+ ou - l'infini
Or-2/+ou-l'infini=0 donc Vn converge vers 0
Juste ou faux ?
Par contre je trouve pas pour la 2.
bonjour,pour ta réponse à la partie 2:unconverge vers l n'implique pas que vnconverge c'est faux si l=0
partie 2 4
si un=(-1)n la suite (un) n'est pas convergente ses termes valent tantôt 1 tantôt -1 et (vn) n'a pas son terme général qui tend vers 0 il vaut tanôt 2 tantôt -2
Parite 2,2
Si Un est minorée par 2, Vn est minorée par -2/2= -1
donc vn est bien minorée par -1 ...?
je t'ai déja répondu mais je ne vois pas trace de ma réponse
2<un=>1/un<1/2=>-1/un>-1/2=> vn>-1 et la proposition 2 est exacte.
pour celles qui sont fausses il faut donner les contre-exemples
1 Proposition fausse car:
si l=0, un converge en 0 mais alors Vn converge vers + l'infini et elle alors diverente.
2 Proposition exacte car :
2<un=>1/un<1/2=>-1/un>-1/2=> vn>-1
3 Proposition fausse car si Un=-n (Un décroissante),
Vn = -2/-n = 2/n et pour tout n>0, Vn est décroissante.
4 Proposition fausse car:
Si Un=(-1)^n,(Un non convergente), Vn = -2/(-1)^n qui est également divergente.
J'ai tout bon ?
bonsoir,
1)vntend vers +ou-
(suivant le signe de un)on ne dit pas qu'elle converge vers l'infini
3)c'est bien d'avoir ecrit n>0 car dans ce cas vn n'est pas définie pour n=0
Merci bien.
Mais alors comment je peux faire pour la partie 1 ?
bonsoir,soient (un)et(vn) deux suites adjacentes
(un) croissante et (vn) décroissante on a donc:
u0
u1......un......vn...........v1v0
la suite (un)est croissante majorée par V0donc convergente de limite L
la suite (vn)est décroissante minorée par u0donc convergente de limite L'
limun-limvn= lim(un-vn)
on sait que lim(un-vn)=0 donc L'-L=0 et les deux suites ont la même limite
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