Bonjour à tous. Je commençais grâce à vous à recomprendre la spé mais en voyant cet exo, j'ai fait une rechute ( y a trop de lettre pour moi : vous êtes pas d'accord ? ).
Pourriez vous m'aider ?
On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9+a² où a est un entier non nul; par exemple, 10=9+1² ; 18=9+3² ...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2,3 ou 5.
1) Etude de l'équation d'inconnue a : a²+9 = 2^n où a
et n
, n
4.
a: Montrer que si a existe, a est impair.
b: En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
2) Etude de l'équation d'inconnue a:
a²+9=3^n où a
privée de 0 , n
, n
3.
a: montrer que si n3, 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b: Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.
c: On pose n=2p où p est un entier naturel, p2. Déduire d'une factorisation de 3^n-a², que l'équation proposée n'a pas de solution.
3) Etude de l'équation d'inconnue a: a²+9=5^n où a
privée de 0, n
, n
2.
a: En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair.
b: On pose n=2p. En s'inspirant de 2.c) démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance entière de 5.
Voila. Essayer d'expliquer chaque étapes s'il vous plait que je comprenne une bonne fois pour toutes !!
Merci de vos aides.
PS : vous êtes pas obligés de tout faire bien sur ...
Je comprend que la longueur de l'exo vous rebute.
Mais ne vous inquiéter pas, je ne vous demande pas de tout faire, j'aimerais simplement que vous m'expliquiez ce qui vous parait simple .
Voila. Merci d'avance.
bonjour lyonnais
1) a)
si a était par il existe a' tel que a=2a'
l'équation a²+9=2^n devient
9=2^n - 4a'²=2(n^(n-1) - 2a'²)
2 diviserait 9 ce qui est absurde. donc a est ipair s'il existe.
b)9=1 mod(4)
comme a est impaire a=2a'+1
a²=4a'²+4a'+1 donc a²=1 mod(4)
donc a²+9=1+1=2 mod(4)
2=2 mod(4)
2²=0 mod(4)
et 2^n=0 mod(4) si n>1; Ce qui est le cas car n>=4.
donc l'équation n'a pas de solution puisque d'une part a²+9=2 mod(4) et 2^n=0 mod(4).
je vous laisse continuer l'exo de la même manière.
et 2^(2p)=0 mod(4)
merci watik.
C'est vraiment sympa de ta part.
Je vais essayer de faire les questions 2) et 3) de la même manière.
Je te demanderais si je rencontre une difficulté, ça ne te dérange pas ?
En tout cas merci encore .
watik t'es encore là ou pas ? sinon quelqu'un d'autre, venez m'aider.
Je suis bloquer à la question 2)b (donc à la question 2)c ), car je n'arrive pas à prouver que "a est pair et en déduire que nécessairement n est pair " et cela même en utilisant la technique de watik dans la 1ère question, c'est à dire le raisonnement par l'absurde.
Pouvez vous m'expliquer comment faire ?
Merci d'avance à ceux qui m'aideront.
2.b. travaille sur toute l'équation en congruence modulo 4
a² ... modulo 4 (deux cas à étudier suivant a)
9 .... modulo 4
3n ... (deux cas à étudier suivant n)
dans quel cas peux-tu avoir a² + 9 3n modulo 4 ?
2.c. 32p - a² = (3p)² - a² Identité remarquable....,
Bon courage
merci LNB, c'est sympa.
J'ai fait ce que tu m'as dis. Donc pour la 2b), pas de problème.
Mais pour la 2c j'arrive à :
()² - a² = 9.
((- a)(
+ a) = 9.
3 3
1 9
<=> soit 3*3 -> (- a)=(
+ a)
vrai seulement si a=0. Or a différent de 0, donc impossible.
<=> soit (- a) = 1 et
+ a) = 9.
= 1+a. Ce qui donne : 2a+1 = 9 <=> a=4.
Marche pas si on remplace dans la 1ère équation donc pas possible.
C'est exact ?
OK. LNb, si t'as le temps regarde. Sinon c'est pas grâve, je pense que c'est bon.
C'est juste que je suis pas sur ...
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